Integrale triplo per calcolo volume
Buona sera ragazzi, ultimo esercizio per oggi :)
Devo calcolare il volume della regione di spazio $D: x,y,zinRR^3: z<=x^2+y^2; 5-z>=x^2+y^2; 0<=z<=1$ tramite l'utilizzo di un integrale triplo.
Quindi si tratta di calcolare $\int int int_{D} dxdydz$
La regione di spazio dovrebbe essere una calotta di paraboloide con punto di massimo alla quota 5.
intanto, procedendo per fette, è facile impostare il dominio di integrazione rispetto la z e passandi in coordinate polari:
$\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} int_{0}^{5-z} rho drhodthetadz$
(non sono sicuro di aver impostato bene il dominio di integrazione rispetto $rho$)
A questo punto resta altro che risolvere l'integrale:
$\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} int_{0}^{5-z} rho drhod\thetadz =1/2\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} (5-z)^2 d\thetadz =1/2\int_{0}^{1}(5-z)^2 int_{0}^{2pi} d\thetadz=$
$1/2\int_{0}^{1} (5-z)^2 (2pi)dz =pi\int_{0}^{1} 25+z^2-10zdz= pi[25\int_{0}^{1} dz +\int_{0}^{1} z^2dz-\10int_{0}^{1} zdz]=$
$pi[25 +1-10]=16pi$
Qualcuno saprebbe indicarmi gli errori che ho commesso?
Grazie mille in anticipo
Devo calcolare il volume della regione di spazio $D: x,y,zinRR^3: z<=x^2+y^2; 5-z>=x^2+y^2; 0<=z<=1$ tramite l'utilizzo di un integrale triplo.
Quindi si tratta di calcolare $\int int int_{D} dxdydz$
La regione di spazio dovrebbe essere una calotta di paraboloide con punto di massimo alla quota 5.
intanto, procedendo per fette, è facile impostare il dominio di integrazione rispetto la z e passandi in coordinate polari:
$\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} int_{0}^{5-z} rho drhodthetadz$
(non sono sicuro di aver impostato bene il dominio di integrazione rispetto $rho$)
A questo punto resta altro che risolvere l'integrale:
$\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} int_{0}^{5-z} rho drhod\thetadz =1/2\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} (5-z)^2 d\thetadz =1/2\int_{0}^{1}(5-z)^2 int_{0}^{2pi} d\thetadz=$
$1/2\int_{0}^{1} (5-z)^2 (2pi)dz =pi\int_{0}^{1} 25+z^2-10zdz= pi[25\int_{0}^{1} dz +\int_{0}^{1} z^2dz-\10int_{0}^{1} zdz]=$
$pi[25 +1-10]=16pi$
Qualcuno saprebbe indicarmi gli errori che ho commesso?
Grazie mille in anticipo
Risposte
mi sono accorto di un probabile errore:
$rho$ dovrebbe variare tra $sqrt(5-z)$ e 0
quindi rifacendo 2 conti:
$\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} int_{0}^{sqrt(5-z)} rho drhodthetadz =
$pi/2\int_{0}^{1} 5-z dz =pi/2[5\int_{0}^{1} dz-\int_{0}^{1} zdz]=pi/2[5-1/2]=9/4pi$
$rho$ dovrebbe variare tra $sqrt(5-z)$ e 0
quindi rifacendo 2 conti:
$\int_{0}^{1} int_{0}^{2pi} int_{0}^{sqrt(5-z)} rho drhodthetadz =
$pi/2\int_{0}^{1} 5-z dz =pi/2[5\int_{0}^{1} dz-\int_{0}^{1} zdz]=pi/2[5-1/2]=9/4pi$
Sei sicuro di aver riportato correttamente l'insieme D?
No, dove ho sbagliato?
[asvg]axes();
stroke="blue";
plot("x^2");
plot("5-x^2");
plot("1");[/asvg]
Non avevo visto $\0<=z<=1$
Ti torna nel piano $\rho,z$?
stroke="blue";
plot("x^2");
plot("5-x^2");
plot("1");[/asvg]
Non avevo visto $\0<=z<=1$
Ti torna nel piano $\rho,z$?
non mi torna la parabola convessa
"Gost91":
Buona sera ragazzi, ultimo esercizio per oggi
Devo calcolare il volume della regione di spazio $D: x,y,zinRR^3: z<=x^2+y^2; 5-z>=x^2+y^2; 0<=z<=1$ tramite l'utilizzo di un integrale triplo.
La prima è:
$\z<=rho^2$
La seconda:
$\5-z>=rho^2$
$\z<=5-rho^2$
e inoltre
$\0<=z<=1$
Ti trovi?
ok grazie ora mi torna!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo