Integrale triplo pazzesco

[mazzy89-votailprof]

avrei da risolvere questo integrale

$intintint_(D)(xy^2+z^2/x)dxdydz$

essendo $D={(x,y,z) in RR^3 : 0<=z<=xy, x^4<=x^2y^2+z^2<=4x^4,1<=x<=2}

ovviamente qui coordinate sferiche e cilindriche servono ben poco data la forma del dominio e della funzione integranda $f(x,y,z)$.forse qualche cambiamento di variabile mi potrebbe aiutare.qualcuno c'ha qualche idea?

[Zkeggia]

Senti a me viene in mente questo: Si nota subito che tutti e 3 i membri sono non negativi. Questo ci piace.
a questo punto si intengra in z tra 0 e xy.

Dopodiché, considerando che al minimo $z=0$, si ottiene che $x^4<=x^2y^2<=4x^4 -> x <=y<=2x$
Quindi si può anche integrare in dy
Infine si integra in dx tra 1 e 2.

Sono indeciso sul passaggio di $z=0$, infatti quando $z=xy$ verrebbe $x

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[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":

Dopodiché, considerando che al minimo $z=0$, si ottiene che $x^4<=x^2y^2<=4x^4 -> x <=y<=2x$
.

chiaro gli altri passaggi ma non capisco il passaggio di $z=0$.che intendi per al "minimo"?non ci arrivo...

[Zkeggia]

Pensavo che se a noi interessa come spazia $y$, allora ci interessa come spazia massimamente, quindi quando z si annulla... però come ragionemento è debole, perché se per esempio consideriamo $z=xy$ verrebbe fuori, come ho scritto, $x In pratica è una stima...

Solo che non mi viene in mente niente di meglio purtroppo... Ma hai almeno il risultato?

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Pensavo che se a noi interessa come spazia $y$, allora ci interessa come spazia massimamente, quindi quando z si annulla... però come ragionemento è debole, perché se per esempio consideriamo $z=xy$ verrebbe fuori, come ho scritto, $x In pratica è una stima...

Solo che non mi viene in mente niente di meglio purtroppo... Ma hai almeno il risultato?

capisco il ragionamento purtroppo non ho il risultato di questo integrale quindi il ragionamento può essere giusto solo in parte.acciderbolina che integrale tosto...

[gugo82]

@Zkeggia: come fai ad integrare in [tex]$z$[/tex] tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$xy$[/tex] se la [tex]$z$[/tex] compare pure nella condizione [tex]$x^4\leq x^2y^2+z^2\leq 4x^2$[/tex]?

Io, senza saper né leggere né scrivere, proverei con una sostituzione non standard: ad esempio con:

[tex]$\begin{cases} X =x \\ Y =xy \\ Z =z\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=X \\ y=\frac{Y}{X} \\ z=Z \end{cases} $[/tex],

che ha jacobiano [tex]$\mathcal{J}(X ,Y ,Z )=\tfrac{1}{X}$[/tex], l'integrando diventa:

[tex]$(xy^2 +\tfrac{z^2}{x})\Big|_{\left( X, \tfrac{Y}{X} ,Z\right)}\ \mathcal{J}(X,Y ,Z ) = (\tfrac{Y^2}{X} +\tfrac{Z^2}{X})\ \tfrac{1}{X} =\frac{Y^2+Z^2}{X^2}$[/tex]

e [tex]$D$[/tex] si trasforma in:

[tex]$E=\{ (X,Y ,Z) :\ 1\leq X \leq 2,\ 0\leq Z \leq Y ,\ X^4 \leq Y^2 +Z^2 \leq 4X^4\}$[/tex]

ossia:

[tex]$E=\{ (X ,Y ,Z) :\ 1\leq X \leq 2,\ 0\leq Z \leq Y ,\ X^2 \leq \sqrt{Y^2 +Z^2} \leq 2X^2\}$[/tex]; perciò l'integrale diventa:

[tex]$\iiint_E \frac{Y^2+Z^2}{X^2}\ \text{d} X\ \text{d} Y\ \text{d} Z =\int_1^2 \frac{1}{X^2} \left\{ \iint_{E_X} (Y^2+Z^2)\ \text{d} Y\ \text{d} Z \right\}\ \text{d} X$[/tex]

ove [tex]$E_X:=\{ (Y,Z):\ 0\leq Z\leq Y ,\ X^2\leq \sqrt{Y^2+Z^2}\leq 2X^2\}$[/tex] è uno spicchio della corona circolare nel piano [tex]$YZ$[/tex] con raggi [tex]$r=X^2, R=2X^2$[/tex].
A questo punto si capisce che l'integrale interno può essere calcolato facilmente passando in coordinate polari nel piano [tex]$YZ$[/tex], quindi l'ultimo scoglio è calcolare l'integrale in [tex]$X$[/tex].

Se poi vuoi sapere come mi è venuto in mente...
Beh, diciamo che l'unica cosa che sembrava sensato cercare di semplificare erano le condizioni [tex]$0\leq z\leq xy$[/tex] ed [tex]$x^4\leq x^2y^2+z^2\leq 4x^4$[/tex]; una volta notato che, ponendo [tex]$Y=xy,Z=z$[/tex], il membro centrale della seconda condizione diventava il quadrato di una norma e che tornava più semplice il terzo membro della prima, ho pensato che la sostituzione potesse effettivamente funzionare.


P.S.: Si potrebbe pensare anche ad una sostituzione del tipo:

[tex]$\begin{cases} X =x^2 \\ Y =xy \\ Z =z\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=\sqrt{X} \\ y=\frac{Y}{\sqrt{X}} \\ z=Z \end{cases} $[/tex]...

Prova a vedere quale semplifica più i conti.

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":@Zkeggia: come fai ad integrare in [tex]$z$[/tex] tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$xy$[/tex] se la [tex]$z$[/tex] compare pure nella condizione [tex]$x^4\leq x^2y^2+z^2\leq 4x^2$[/tex]?

Io, senza saper né leggere né scrivere, proverei con una sostituzione non standard: ad esempio con:

[tex]$\begin{cases} X =x \\ Y =xy \\ Z =z\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=X \\ y=\frac{Y}{X} \\ z=Z \end{cases} $[/tex],

che ha jacobiano [tex]$\mathcal{J}(X ,Y ,Z )=\tfrac{1}{X}$[/tex], l'integrando diventa:

[tex]$(xy^2 +\tfrac{z^2}{x})\Big|_{\left( X, \tfrac{Y}{X} ,Z\right)}\ \mathcal{J}(X,Y ,Z ) = (\tfrac{Y^2}{X} +\tfrac{Z^2}{X})\ \tfrac{1}{X} =\frac{Y^2+Z^2}{X^2}$[/tex]

e [tex]$D$[/tex] si trasforma in:

[tex]$E=\{ (X,Y ,Z) :\ 1\leq X \leq 2,\ 0\leq Z \leq Y ,\ X^4 \leq Y^2 +Z^2 \leq 4X^4\}$[/tex]

ossia:

[tex]$E=\{ (X ,Y ,Z) :\ 1\leq X \leq 2,\ 0\leq Z \leq Y ,\ X^2 \leq \sqrt{Y^2 +Z^2} \leq 2X^2\}$[/tex]; perciò l'integrale diventa:

[tex]$\iiint_E \frac{Y^2+Z^2}{X^2}\ \text{d} X\ \text{d} Y\ \text{d} Z =\int_1^2 \frac{1}{X^2} \left\{ \iint_{E_X} (Y^2+Z^2)\ \text{d} Y\ \text{d} Z \right\}\ \text{d} X$[/tex]

ove [tex]$E_X:=\{ (Y,Z):\ 0\leq Z\leq Y ,\ X^2\leq \sqrt{Y^2+Z^2}\leq 2X^2\}$[/tex] è uno spicchio della corona circolare nel piano [tex]$YZ$[/tex] con raggi [tex]$r=X^2, R=2X^2$[/tex].
A questo punto si capisce che l'integrale interno può essere calcolato facilmente passando in coordinate polari nel piano [tex]$YZ$[/tex], quindi l'ultimo scoglio è calcolare l'integrale in [tex]$X$[/tex].

Se poi vuoi sapere come mi è venuto in mente...
Beh, diciamo che l'unica cosa che sembrava sensato cercare di semplificare erano le condizioni [tex]$0\leq z\leq xy$[/tex] ed [tex]$x^4\leq x^2y^2+z^2\leq 4x^4$[/tex]; una volta notato che, ponendo [tex]$Y=xy,Z=z$[/tex], il membro centrale della seconda condizione diventava il quadrato di una norma e che tornava più semplice il terzo membro della prima, ho pensato che la sostituzione potesse effettivamente funzionare.


P.S.: Si potrebbe pensare anche ad una sostituzione del tipo:

[tex]$\begin{cases} X =x^2 \\ Y =xy \\ Z =z\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=\sqrt{X} \\ y=\frac{Y}{\sqrt{X}} \\ z=Z \end{cases} $[/tex]...

Prova a vedere quale semplifica più i conti.

@gugo82: sto leggendo solamente ora e sto vedendo che la sostituzione proposta risolve un bel pò di problemi ma scusami se non capisco il passaggio sottostante. nel senso che tu hai scritto:

[tex]$\begin{cases} X =x \\ Y =xy \\ Z =z\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=X \\ y=\frac{Y}{X} \\ z=Z \end{cases} $[/tex]

ma non dovrebbe essere invece

[tex]$\begin{cases} X =x \\ Y =xy \\ Z =z\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=X \\ y=\frac{Y}{x} \\ z=Z \end{cases} $[/tex]

cioè $x$ minuscola al denominatore anzichè di $x$ maiuscola

[gugo82]

E se lasciassi [tex]$x$[/tex] che sostituzione sarebbe?

Diciamo, sarebbe come lasciar scritto [tex]$\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] al posto di [tex]$\rho$[/tex] nel passaggio a coordinate polari...

[Zkeggia]

"gugo82":@Zkeggia: come fai ad integrare in [tex]$z$[/tex] tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$xy$[/tex] se la [tex]$z$[/tex] compare pure nella condizione [tex]$x^4\leq x^2y^2+z^2\leq 4x^2$[/tex]?

Corro a ripassare analisi