Integrale triplo nullo

[marmaglia]

L'integrale triplo $ int int int_(B)(x+y-3z) dx dy dz $ dove $ B $ è la palla di raggio $2$ e centro
$ (1; 2; 1) $ in $ R^3 $ è uguale a $ 0 $ ?

Allora, io facendo tutti i calcoli, passo alle coordinate polari sferiche e risolvendo l'integrale mi trovo che viene effettivamente 0. Ma credo ci debba essere un metodo più immediato per verificare che l'integrale sia nullo.
Voi come lo fareste? Vi trovate con il risultato? Consigli?

[gordnbrn]

Si potrebbe ragionare sul fatto che le superfici di livello della funzione integranda sono piani e che su quella passante per il centro della palla la funzione vale zero.

[marmaglia]

E questo basterebbe per dimostrare che l'integrale è nullo?

[gordnbrn]

No, devi anche argomentare. Sempre che tu abbia compreso che cosa sto intendendo.

[marmaglia]

Non precisamente, cioè io ragionavo sulla possibile simmetria, ma non so come trattarla in questo caso xD

[gordnbrn]

Le superfici di livello sono piani. La funzione vale zero sul piano passante per il centro della palla. Per ogni piano parallelo a quest'ultimo intersecante la palla in un cerchio, ne esiste uno simmetrico alla stessa distanza dal centro della palla intersecante la palla in un cerchio avente lo stesso raggio. Ebbene, su questi due piani il valore della funzione è opposto. Insomma, "affetti" la palla e, tolta la "fetta" passante per il centro della palla dove la funzione vale zero, tutte le altre "fette" possono essere suddivise in coppie tali che, se su una "fetta" della coppia la funzione ha un determinato valore, sull'altra "fetta" della stessa coppia la funzione ha valore opposto. Spero di aver reso l'idea.

[marmaglia]

Sìsì, chiarissimo grazie mille!! c: