Integrale triplo intersezione Sfera e circonferenza
Ciao,
Ho un dubbio inerente a questo esercizio:
Dovrei calcolare il volume interno ad una sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=196$, ed esterno a una circonferenza $x^2+y^2=49$. Ho provato a risolverlo con le coordinate sferiche mettendo che il raggio varia tra 7 e 14, ma non so se è propriamente corretto.
Aspetto una vostra risposta,
Grazie.
Ho un dubbio inerente a questo esercizio:
Dovrei calcolare il volume interno ad una sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=196$, ed esterno a una circonferenza $x^2+y^2=49$. Ho provato a risolverlo con le coordinate sferiche mettendo che il raggio varia tra 7 e 14, ma non so se è propriamente corretto.
Aspetto una vostra risposta,
Grazie.
Risposte
Cos’è il “volume esterno ad una circonferenza”?
Ciao,
Questa è una prova che mi è stata sottoposta all'esame di Analisi 2 all'università.
La traccia diceva: "Calcolare il volume interno alla sfera e esterno alla circonferenza".
Io ho subito pensato 'come si calcola il volume di una figura schiacciata sul piano? (la circonferenza), allora chiesi alla prof. e lei mi disse che questa era una domanda grave da fare.
Allora poi ho risolto l'integrale passando alle coordinate sferiche considerando che il raggio variava dall'esterno della circonferenza all'interno della sfera, l'ho calcolato come se fossero state due sfere concentriche.
Non ho ben capito neanche io il senso dell'esercizio, per questo mi sono rivolto a voi.
Spero qualcuno mi sappia dare qualche risposta.
Questa è una prova che mi è stata sottoposta all'esame di Analisi 2 all'università.
La traccia diceva: "Calcolare il volume interno alla sfera e esterno alla circonferenza".
Io ho subito pensato 'come si calcola il volume di una figura schiacciata sul piano? (la circonferenza), allora chiesi alla prof. e lei mi disse che questa era una domanda grave da fare.
Allora poi ho risolto l'integrale passando alle coordinate sferiche considerando che il raggio variava dall'esterno della circonferenza all'interno della sfera, l'ho calcolato come se fossero state due sfere concentriche.
Non ho ben capito neanche io il senso dell'esercizio, per questo mi sono rivolto a voi.
Spero qualcuno mi sappia dare qualche risposta.
\(x^2+y^2=49\) non è una circonferenza.
"cext104":
allora chiesi alla prof. e lei mi disse che questa era una domanda grave da fare.
E ci credo, perchè come ti hanno già detto, non è una circonferenza.
Siamo in $RR^3$ e la z è libera.
Quindi la z è l'asse di "tubo" di raggio 7
Ti si chiede di trovare il volume della sfera meno il volume dell'intersezione fra il tubo e la sfera.
Quindi ho sbagliato facendo il passaggio in coordinate sferiche? E poi però come faccio a stabilire dove varia z?
"Bokonon":
Siamo in $RR^3$ e la z è libera.
Quindi la z è l'asse di "tubo" di raggio 7
Ti si chiede di trovare il volume della sfera meno il volume dell'intersezione fra il tubo e la sfera.
Spoiler!
"cext104":
Quindi ho sbagliato facendo il passaggio in coordinate sferiche? E poi però come faccio a stabilire dove varia z?
"\( x^2+y^2=49 \)" significa "l'insieme di tutte le terne \((x,y,z)\) tali che \(x^2+y^2=49\)".
Ok quindi la z poteva avere qualsiasi valore ma io avevo sempre una figura del tipo [img]https://postimg.cc/Vd3Ncrdz[/img].
Allora non ho ben chiaro come dovevo procedere, potete illuminarmi?
Allora non ho ben chiaro come dovevo procedere, potete illuminarmi?
[Non riesco a vedere l'immagine].
Non è che ci sia una grande scienza dietro a questa cosa: il dominio di integrazione è la differenza tra una sfera e un cilindro. La cosa più naturale mi sembra passare a coordinate cilindriche.
Non è che ci sia una grande scienza dietro a questa cosa: il dominio di integrazione è la differenza tra una sfera e un cilindro. La cosa più naturale mi sembra passare a coordinate cilindriche.
"cext104":
Quindi ho sbagliato facendo il passaggio in coordinate sferiche? E poi però come faccio a stabilire dove varia z?
Il tuo problema principale è non capire cosa stai facendo.
Adesso che "vedi" il tubo e la sfera, vedrai come è fatta l'intersezione.
Presto "vedrai" che il tubo e la sfera hanno in comune un cilindro fino alle altezze $z=+-h$ a cui si sommano due cupolotti identici (sezioni appunto dei dei due piani $z=+-h$ con la sfera).
Quindi Volume Sfera-volume ciilindro di altezza 2h- due volte il volume di un cupolotto =soluzione
Ah ok adesso mi è chiaro, grazie mille!
"Raptorista":[/quote]
[quote="Bokonon"]
Spoiler!
Se nemmeno il rimprovero della prof e di due utenti blasonati lo hanno persuaso che non è una circonferenza, era inutile continuare a spremerlo.
[hide="."]Scusa hai qualche problema se mi era di difficile interpretazione la traccia d'esame?
Questi commentini squallidi potresti anche evitarli, poiché nessuno nasce maestro.
Buona giornata
[/hide]
[xdom="gugo82"]Per certe questioni esistono i PM.[/xdom]
Questi commentini squallidi potresti anche evitarli, poiché nessuno nasce maestro.
Buona giornata
[/hide][xdom="gugo82"]Per certe questioni esistono i PM.[/xdom]
Altro modo.
Il solido che resta dopo aver “trapanato” la sfera è comunque un solido di rotazione.
Esso è generato dalla rotazione di un segmento circolare ad una base che giace nel piano $Oxz$ rispetto all’asse $z$.
Il volume si può calcolare o col teorema di Guldino oppure sfruttando il Principio di Cavalieri (i.e., integrare per piani paralleli all’asse di rotazione).
Il solido che resta dopo aver “trapanato” la sfera è comunque un solido di rotazione.
Esso è generato dalla rotazione di un segmento circolare ad una base che giace nel piano $Oxz$ rispetto all’asse $z$.
Il volume si può calcolare o col teorema di Guldino oppure sfruttando il Principio di Cavalieri (i.e., integrare per piani paralleli all’asse di rotazione).
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