Integrale triplo in polari
Ciao, amici!
Mi sono trovato davanti ad un integrale che credevo di non difficilissima soluzione, ma il risultato da me ottenuto non coincide con quello dato dal mio libro... Si tratta di $\int\int\int_E z^2 "d"x"d"y"d"z$ dove $E$ è limitato dal piano $x=0$ e dal paraboloide $x=1-y^2-z^2$.
Chiamo $D$ il cerchio $y^2+z^2 \leq 1$ la cui circonferenza direi sia intersezione tra il paraboloide e il piano e direi quindi che l'integrale da calcolare sia
$\int\int_D\int_{0}^{1-y^2-z^2} z^2 "d"x"d"y"d"z= \int\int_D z^2(1-y^2-z^2) "d"y"d"z$ cioè, direi, ponendo $z=rsin\theta$, in polari
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}r^2sin^2 \theta (1-r^2)r "d"r"d"\theta=1/12 \int_{0}^{2\pi} sin^2 \theta "d"\theta=\pi/12$
mentre il mio testo dà come soluzione $\pi/2$... Che ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Mi sono trovato davanti ad un integrale che credevo di non difficilissima soluzione, ma il risultato da me ottenuto non coincide con quello dato dal mio libro... Si tratta di $\int\int\int_E z^2 "d"x"d"y"d"z$ dove $E$ è limitato dal piano $x=0$ e dal paraboloide $x=1-y^2-z^2$.
Chiamo $D$ il cerchio $y^2+z^2 \leq 1$ la cui circonferenza direi sia intersezione tra il paraboloide e il piano e direi quindi che l'integrale da calcolare sia
$\int\int_D\int_{0}^{1-y^2-z^2} z^2 "d"x"d"y"d"z= \int\int_D z^2(1-y^2-z^2) "d"y"d"z$ cioè, direi, ponendo $z=rsin\theta$, in polari
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}r^2sin^2 \theta (1-r^2)r "d"r"d"\theta=1/12 \int_{0}^{2\pi} sin^2 \theta "d"\theta=\pi/12$
mentre il mio testo dà come soluzione $\pi/2$... Che ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Non ho riguardato i calcoli al 100%, ma sembra corretta la tua soluzione.
$+oo$ grazie!!!
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