Integrale triplo in coordinate sferiche

[carlottante]

Ciao a tutti!

Ho un problema relativo agli estremi di integrazione dell'angolo $\theta$ del seguente integrale

$\int_Asqrt(z/((x^2+y^2+z^2)^3))dxdydz$ dove $A={(x,y,z)in mathbb(R^3) \|x^2+y^2+z^2>=1/16\ \,\ \x^2+y^2<=z<=sqrt(x^2+y^2)}$

Sono passata in sferiche e ho scritto $\rho$ in funzione di $\theta$

$x^2+y^2=z\ \ \ ->\rho^2sen^2\theta=\rhocos\theta->\rho=cos\theta/(sen^2\theta)$

e concludendo $\rhoin[1/4,cos\theta/(sen^2\theta)]$.

Riporto i passaggi dello svolgimento

$\intsqrt((\rhocos\theta)/(\rho^6))\rho^2sen\thetad\rhod\thetad\phi=intd\phiintsen\thetasqrt(cos\theta)d\thetaint_(1/4)^(cos\theta/(sen^2\theta))1/(sqrt(\rho))d\rho=2intd\phiintsen\thetasqrt(cos\theta)(sqrt(cos\theta)/(sen\theta)-1/2)d\theta=4\pi(intcos\thetad\theta+1/2int-sen\thetasqrt(cos\theta)d\theta)=4\pi(sen\theta+1/3(cos\theta)^(3/2))$

Negli ultimi due passaggi ho integrato $\phiin[0,2\pi]$ e moltiplicato per il $2$ proveniente dall'integrazione di $1/(sqrt(\rho))$.

Ora pongo il mio quesito: quali sono gli estremi di integrazione di $\theta$?
La soluzione mi dice che $\thetain[\pi/4,\pi/2]$, ma sinceramente non riesco a capire l'estremo superiore.
Per quanto riguarda $\theta=\pi/4$ non ho problemi, infatti ponendo $x=0$ nell'equazione della falda superiore del cono si deduce facilmente il valore dell'angolo latitudinale, ma perché l'estremo sup dell'intervallo è $\theta=\pi/2$?

Quando ho risolto l'esercizio ho individuato l'intersezione tra paraboloide e sfera (ho considerato la restrizione al piano yz ponendo $\x=0$) e ho determinato la retta passante per l'origine e il punto di intersezione (nel piano yz); a questo punto l'estremo superiore, non dovrebbe essere $\pi/2-Arctan(m)$ dove m è il coefficiente angolare della retta?

Oppure, in alternativa, non è uguale usare la parametrizzazione $\rho(\theta)$ trovata precedentemente e ricavare l'angolo ponendo $cos\theta/(sen^2\theta)=1/4$?

Grazie mille in anticipo

[Ziben]

Ciao,
premetto che sono molto arrugginito con questi argomenti. Se non ricordo male, in coordinate sferiche, $\theta in [0,pi]$. Io ho ragionato così; dalla seconda condizione si ricava:

$\rho sin^2 \theta \leq cos \theta \leq sin \theta$

$cos \theta \leq sin \theta$ dice che $theta in [pi/4,pi]$ mentre $\rho sin^2 \theta \leq cos \theta$ dice che il $cos$ deve essere positivo e quindi restringe a $theta in [pi/4,pi/2]$

Non quanto sia ortodosso questo ragionamento

[carlottante]

Ciao Ziben!

Condivido le tue osservazioni, ma non riesco a capire perché non si debba tener conto della condizione $\rho>=1/4$.

Voglio dire, superato l'angolo $\theta\| \ \ cos\theta/(sen^2\theta)=1/4$ non si esce dal dominio di integrazione?

Grazie mille

[carlottante]

Peraltro se nella condizione $\rho\<=cos\theta/(sen^2\theta) $ poniamo $\theta=\pi/2$, otteniamo $\rho=0$ , quindi finiamo nell'origine che è vertice del paraboloide, del cono, ma soprattutto centro della sfera e quindi non viene più rispettata la condizione $\x^2+y^2+z^2>=1/16$; e mi sembra che questo valga per tutti i $\theta\|\rho<=1/4$.

Spero che non sia troppo confusionaria la mia spiegazione...sono in difficoltà.

Grazie ancora

[Ziben]

Ciao carlottante,
facendo mie le tue perplessità ho provato a seguire i tuoi ragionamenti e...mi trovo ora nella tua stessa barca. Ci ho provato un po' tutta la giornata ma non riesco a venirne a capo. Mi dispiace ma non posso esserti d'aiuto. Speriamo che qualcuno più esperto intervenga

[21zuclo]

Dal pc dell'università

allora mi sono fatto anche un po' aiutare da altri miei compagni di corso (faccio Matematica in università, e Analisi 2, già data)

allora io uso purtroppo altre notazioni, io scrivo così le coordinate sferiche $ { ( x=\rho \cos\theta sin\phi ),( y=\rho sin\theta \sin\phi ),( z=\rho cos\phi ):} $

in GENERALE per me $\theta \in[0,2\pi]$ e $\phi \in[0,\pi]$

Poi si valuta caso per caso..

In questo caso, sostituendo si ha $ \rho^2\sin^2\phi\leq \rho cos\phi\leq \rho \sin \phi $

quindi si ha la diseguaglianza $ cos\phi\leq \sin \phi $

se disegni , noterai che la diseguaglianza è verificata da $ \phi\in[\pi/4, \pi] $

non hai altri vincoli , quindi $ \theta \in[0,2\pi] $

ora hai tutto per risolvere..NON c'è altra soluzione..

[21zuclo]

EDIT

Ragazzi è giusto quello che ha detto Ziben

"Ziben":
$cos \theta \leq sin \theta$ dice che $theta in [pi/4,pi]$ mentre $\rho sin^2 \theta \leq cos \theta$ dice che il $cos$ deve essere positivo e quindi restringe a $theta in [pi/4,pi/2]$

$\phi$ varia tra $\pi/4$ e $\pi/2$

perchè se guardiamo bene la sinusoide e la cosinusoide

si ha che $\sin(\pi/4)=cos(\pi/4)$

e $1=\sin(\pi/2)>\cos(\pi/2)=0$

quindi $\phi\in [\pi/4,\pi/2]$ per il motivo che ha detto Ziben

[carlottante]

Grazie mille!!!