Integrale triplo - help me please!

[apfel-votailprof]

Ciao ragazzi, ho passato lo scritto di analisi 2 e lunedì ho l'orale, nel compito c'era questo integrale che non sono riuscita a fare, temo che all'orale mi possa chiedere come si debba fare...se qualcuno di voi potesse aiutarmi gli sarei immensamente grata!
L'esercizio è questo:

$\int int int (y^2x^2)/(1+x^2y^2z^2) dxdydz$

In $T={ (x,y,z) in RR^3 : x>=0 , y<0 , x^2+y^2 <=1 , x^2+y^2+2y>=0 , (1/16)<=xyz<=(1/4) }$

Grazie in anticipo a chi mi risponderà!

PS: avete qualche dritta per imparare i teoremi per l'orale? Sto facendo una fatica pazzesca per ricordare le dimostrazioni...nonostante abbia capito il teorema spesso dimentico il passaggio chiave...quei "trucchetti" che ti permettono di andare avanti cn la dim...

[antani2]

Allora innanzitutto proporrei un cambio di variabili così $u=x,\ v=y, w=xyz$ da cui $x=u,y=v,z=w/(uv)$. Il nuovo insieme di integrazione diventa così: ${(u,v,w inmathbb{R}^3: u>=0, v<0, u^2+v^2<=1,u^2+v^2+2v>=0, 1/16=0, v<0$ esso sarà $-1/(uv)$.
Questo determinante Jacobiano ha un comportamento singolare in u=v=0. Fortunatamente però ti si semplifica dentro all'integrale col numeratore della funzione:


$-intintint(u^2v^2)/(1+w^2)1/(uv)dudvdw=-intintint(uv)/(1+w^2)dudvdw$. Il dominio di integrazione ora è facile per la w, quindi cominciamo a integrare per strati la w:

$-int_(1/16)^(1/4)(dw)/(1+w^2)intint_S uvdudv=( arctg(1/16)-arctg(1/4))* intint_S uvdudv$ dove S ora è ${(u,v inmathbb{R}^2: u>=0, v<0, u^2+v^2<=1,u^2+v^2+2v>=0}$, cioè la superficie nel IV quadrante tra due archi di circonferenza che si intersecano in $(sqrt3/2, -1/2)$ quindi $=( arctg(1/16)-arctg(1/4))*intint_S uvdudv=( arctg(1/16)-arctg(1/4))*int_0^(sqrt3/2)udu int_(-sqrt(1-u^2))^(sqrt(1-u^2)-1) v dv=( arctg(1/16)-arctg(1/4))*int_0^(sqrt3/2)udu v^2/2|_(-sqrt(1-u^2))^(sqrt(1-u^2)-1)=( arctg(1/16)-arctg(1/4))*int_0^(sqrt3/2)u(1/2-sqrt(1-u^2))du=$ ....Ora è facile dai