Integrale triplo - Esercizio
Ciao a tutti!
Vi propongo un esercizio su un integrale triplo che non riesco a risolvere.
Data la funzione
$f:RR^3 -> RR$
$f(x,y,z)= z^2$
ed il cono $K$ siffatto:
Vertice in $(0,0,3)$
Centro della circonferenza alla base del cono in $(2,0,0)$
Raggio della circonferenza alla base del cono = $r = 2$
Calcolare l'integrale triplo di $f$ su $K$.
$\int int int_K z^2 dxdydz$
Io ho ragionato nel seguente modo:
Osservando il cono, ho preferito procedere con l'integrazione per strati (o fette).
1)Faccio variare $z$ tra $0$ e $3$. Ottengo $\int_0^3 z^2 (\int int_(D_z) dxdy)dz$ ;
2)Per descrivere i miei vari "dischi" $D_z$, che, ovviamente, varieranno al variare di $z$, attuo la seguente strategia:
- Applico un cambio di coordinate, utilizzando le coordinate polari traslate $\{(x= 2+ \rho * cos(\theta) ),(y = 2+ \rho *sin(\theta)):}$ ;
- So che $\theta$ varia tra $[0;2pi)$ .
Come varia $\rho$ ? Varia in funzione dell'altezza, di $z$. Devo trovare quindi degli appropriati estremi di integrazione;
- Prendo la retta che congiunge il vertice del cono al centro della circonferenza della base, nonchè $x= -2/3 *(z-3)$ . Deduco che $\rho$ varierà tra $0$ e $ -2/3 *(z-3)$.
Il mio integrale finale sarà:
$\int_0^3 int_0^(2pi) int_0^(-2/3 *(z-3)) z^2 *( \rho) dxd\rhod\theta$
Da qui in poi, basta svolgere i calcoli.
Ebbene, l'integrale finale risulta essere errato, perché ho commesso degli errori nelle mie deduzioni.
Penso che ci sia
- un errore nel cambio di coordinate polari con traslazione;
- un errore concettuale nella scelta degli estremi di integrazione di $\rho$.
Voi cosa ne pensate?
Grazie mille
Vi propongo un esercizio su un integrale triplo che non riesco a risolvere.
Data la funzione
$f:RR^3 -> RR$
$f(x,y,z)= z^2$
ed il cono $K$ siffatto:
Vertice in $(0,0,3)$
Centro della circonferenza alla base del cono in $(2,0,0)$
Raggio della circonferenza alla base del cono = $r = 2$
Calcolare l'integrale triplo di $f$ su $K$.
$\int int int_K z^2 dxdydz$
Io ho ragionato nel seguente modo:
Osservando il cono, ho preferito procedere con l'integrazione per strati (o fette).
1)Faccio variare $z$ tra $0$ e $3$. Ottengo $\int_0^3 z^2 (\int int_(D_z) dxdy)dz$ ;
2)Per descrivere i miei vari "dischi" $D_z$, che, ovviamente, varieranno al variare di $z$, attuo la seguente strategia:
- Applico un cambio di coordinate, utilizzando le coordinate polari traslate $\{(x= 2+ \rho * cos(\theta) ),(y = 2+ \rho *sin(\theta)):}$ ;
- So che $\theta$ varia tra $[0;2pi)$ .
Come varia $\rho$ ? Varia in funzione dell'altezza, di $z$. Devo trovare quindi degli appropriati estremi di integrazione;
- Prendo la retta che congiunge il vertice del cono al centro della circonferenza della base, nonchè $x= -2/3 *(z-3)$ . Deduco che $\rho$ varierà tra $0$ e $ -2/3 *(z-3)$.
Il mio integrale finale sarà:
$\int_0^3 int_0^(2pi) int_0^(-2/3 *(z-3)) z^2 *( \rho) dxd\rhod\theta$
Da qui in poi, basta svolgere i calcoli.
Ebbene, l'integrale finale risulta essere errato, perché ho commesso degli errori nelle mie deduzioni.
Penso che ci sia
- un errore nel cambio di coordinate polari con traslazione;
- un errore concettuale nella scelta degli estremi di integrazione di $\rho$.
Voi cosa ne pensate?
Grazie mille
Risposte
Ciao JustBreathe,
Ti scrivo tutto ciò che non mi torna...
Innanzitutto le coordinate polari:
Se veramente il centro della base del cono è in $(2,0,0) $ non capisco la ragione della trasformazione per $y $, utilizzerei semplicemente $y = \rho sin\theta $.
Casomai sarà $\rho = \rho(z) = 2/3 \cdot (3 - z) $
No. Se utilizzi la trasformazione di coordinate che hai citato $ x $ non deve comparire nell'integrale finale...
Ti scrivo tutto ciò che non mi torna...
Innanzitutto le coordinate polari:
"JustBreathe":
[...] utilizzando le coordinate polari traslate $ \{(x= 2+ \rho * cos(\theta) ),(y = 2+ \rho *sin(\theta)):} $ ;
Se veramente il centro della base del cono è in $(2,0,0) $ non capisco la ragione della trasformazione per $y $, utilizzerei semplicemente $y = \rho sin\theta $.
"JustBreathe":
nonchè $x= -2/3 *(z-3)$
Casomai sarà $\rho = \rho(z) = 2/3 \cdot (3 - z) $
"JustBreathe":
Il mio integrale finale sarà: $ \int_0^3 int_0^(2pi) int_0^(-2/3 *(z-3)) z^2 *( \rho) dxd\rhod\theta $
No. Se utilizzi la trasformazione di coordinate che hai citato $ x $ non deve comparire nell'integrale finale...
"pilloeffe":
Ciao JustBreathe,
Ti scrivo tutto ciò che non mi torna...
Innanzitutto le coordinate polari:
[quote="JustBreathe"][...] utilizzando le coordinate polari traslate $ \{(x= 2+ \rho * cos(\theta) ),(y = 2+ \rho *sin(\theta)):} $ ;
Se veramente il centro della base del cono è in $(2,0,0) $ non capisco la ragione della trasformazione per $y $, utilizzerei semplicemente $y = \rho sin\theta $.
"JustBreathe":
nonchè $x= -2/3 *(z-3)$
Casomai sarà $\rho = \rho(z) = 2/3 \cdot (3 - z) $
"JustBreathe":
Il mio integrale finale sarà: $ \int_0^3 int_0^(2pi) int_0^(-2/3 *(z-3)) z^2 *( \rho) dxd\rhod\theta $
No. Se utilizzi la trasformazione di coordinate che hai citato $ x $ non deve comparire nell'integrale finale...
[/quote]Buongiorno Pilloeffe!
Intanto ti ringrazio ed arrivo subito a risponderti.
Sono d'accordo con l'errore sulle coordinate polari. La $y$ sarà in effetti $y=\rho*sin(\theta)$
Non capisco invece dove ho sbagliato negli altri due punti da te citati (pardon, sono un po' duro).
Nel calcolo della retta che passa per i punti $(0,0,3)$ e $(2,0,0)$ ho semplicemente applicato la formula $(x-x_1)/(x_2-x_1) = (z-z_1)/(z_2-z_1)$.
Nell'integrale finale la $x$ penso di non averla messa. Ho posto soltanto posto $\rho$ in quanto, nel cambio di coordinate, devo porre il determinante dello Jacobiano.
"JustBreathe":
Intanto ti ringrazio [...]
Prego!
"JustBreathe":
Nel calcolo della retta che passa per i punti $(0,0,3)$ e $(2,0,0)$ ho semplicemente applicato la formula $ (x−x_1)/(x_2−x_1)=(z−z_1)/(z_2−z_1) $.
Va bene, ma a questo punto otterrai una $z = z(x) $: se decidi di passare alle coordinate polari, quella $x$ dovrà essere sostituita dalla sua espressione in coordinate polari no?
"JustBreathe":
Nell'integrale finale la $x $ penso di non averla messa.
Scusami eh, ma invece di pensare rileggiti il tuo stesso post che ho citato e fra l'altro tu hai ri-citato citandomi...
"pilloeffe":[/quote]
[quote="JustBreathe"]Intanto ti ringrazio [...]
Pilloeffe, mi dispiace, ho provato a seguire le tue dritte ma non riesco a cavare un ragno dal buco purtroppo. Se hai tempo, potresti farmi vedere cosa cambieresti?
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