Integrale triplo e Curvilineo

[Bisneff]

Salve a todos

E' da un po' che non mi destreggio in queste pagine.

Volevo sottoporvi due problemi che ancora non son riuscito a risolvere di mio.

Determinare il volume del solido
$D = {(x, y, z) ∈ R^3 : (x −sqrt(3))^2 + y^2 + z^2 ≤ 1, x^2 ≤ 3(y^2 + z^2 )}.$

Non sono un drago sugli integrali tripli, ma mi è parso di capire che il volume richiesto è quello di una sfera centrata in $sqrt3$ che viene bucata da un cono che parte dall'orgine e la interseca fino all' "equatore". Quindi basterebbe sommare metà del volume della sfera con l'integrale sull'altro pezzo. Stavo provando a farlo con Pappo-Guldino, ma non sono riuscito a parametrizzare tutto. Qualcuno sa aiutarmi?



Il secondo problema che vi pongo è un integrale curvilineo del secondo tipo.


$ int _gamma ((3 + xy + 2x)/(y+2)) dx + y dy $

Sulla curva data dalla funzione $y=sin(pi x)$. da (0,0) a (2,0).


L'ho svolto così:

$ omega_1 = (3/(y+2)) dx ; omega_2 = ((x(y+2))/(y+2) ) dx + y dy$

$omega_2$ è esatta con potenziale $ U = (((x^2) + (y^2))/2) $

quindi $int_gamma omega_2 = U(2,0)-U(0,0) = 2$

Parametrizzo gamma (probabilmente lo sbaglio lo fo qui)

$ gamma :
\{( x(t) = t), ( y(t) = sin(pi*t) )}
t∈[0,2]
$

quindi l'integarle su $omega_1$ diventa

$int_gamma omega_1 = int_0^2 (3/(sin(pi*t)+2)) dt$

Questo non so calcolarlo se non con wolfram alpha. Esiste un modo migliore di parametrizzare?


Grazie in anticipo

[Bisneff]

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