Integrale triplo!!! e cambiamento di variabili!
Calcolare il seguente integrale triplo
$∭_T(x^2+y^2 )^(1/2)/(z^2+1)^2 dxdydz$
Essendo
$T=
{(x,y,z)∈R^3:x^2+y^2≥1,x^2+y^2-2x≤0,z^2-2z≤0}$
Determiniamo in primo luogo gli estremi di integrazione di ogni variabile. Notiamo che l’equazione$ x^2+y^2=1 $è la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, mentre l’equazione $x^2+y^2-2x=0$ è la circonferenza con centro sull’asse x nel punto (1,0) e raggio 1. Determiniano i punti in cui le due disequazioni sono soddisfatte e si ha il sistema:
${ ( x^2+y^2≥1 ),( x^2+y^2-2x≤0 ):}$
Graficamente si ha:
L’area in giallo rappresenta l’area di integrazione. Passiamo a coordinate cilindriche:
$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rhosinvartheta ),( z=z):} $
Dalla terza disequazione dell’insieme T troviamo che z è compresa tra 0 e 2. Calcoliamo adesso l’integrale rispetto la variabile $z$:
$∬_T(x^2+y^2 )^(1/2) dxdy∫_0^2 1/(z^2+1)^2 dz $
L’integrale indefinito:
$∫ 1/(z^2+1)^2 dz=z/(2(z^2+1)) +1/2 arctgz+c$
Poniamo come estremi di integrazione i valori 0 e 2, e si ha:
$1/5+1/2 arctg2-(0+0)=1/5+1/2arctg2$
Non ci resta che calcolare l’integrale doppio:
$∬_T (x^2+y^2 )^(1/2) dxdy =∬_(T°)(rho)^2dvarthetadrho$
Determiniamo adesso l'insieme T° e si ha:
$T=T°={(vartheta ,rho):(vartheta)in[0,2pi[ rho in [0,+infty[}$
E' necessario quindi risolvere il sistema:
${ ( 0<=vartheta<=2pi ),( rho>=0 ),( rho^2>=1),(rho^2-2rhocosvartheta<=0):}$
da cui si ha:
$ϑ∈[-π/3;π/3]$ e $ρ∈[1;2cosϑ]$
Adesso dobbiamo studiare il nuovo integrale:
$∫_(-π/3)^(π/3)dϑ ∫_1^(2cosϑ)ρ^2 dρ$
integriamo rispetto a $rho$:
$∫_1^2cosϑ ρ^2 dρ=[ρ^3/3]^(2cosvartheta)_1=(8 cos^3ϑ)/3-1/3$
Adesso integriamo rispetto a $vartheta$:
$∫_(-π/3)^(π/3) (8 cos^3ϑ)/3-1/3 dϑ$
L’integrale della somma è uguale alla somma degli integrali, e si ha:
$∫_(-π/3)^(π/3) (8 cos^3ϑ)/3 dϑ-∫_(-π/3)^(π/3) 1/3 dϑ=
(8/3) [((senϑ cos^2ϑ)/3)+(2/3)(sinϑ)]_(-π/3)^(π/3)-(1/3) [ϑ]_(-π/3)^(π/3)=
(8/3)[(2 (√3))/24+(2 (√3))/3]-2π/3=(8/3)((9(√3))/12)-2π/3=2(√3)-2π/3$
In definitiva L’integrale proposto è dato da:
$∭_T((x^2+y^2 )^(1/2))/(z^2+1)^2 dxdydz=
∫_(-π/3)^(π/3) dϑ ∫_1^(2cosϑ) ρ^2 dρ ∫_0^2 1/(z^2+1)^2 dz=
=(2(√3)-2π/3)(1/5+1/(2arctg2))$
$∭_T(x^2+y^2 )^(1/2)/(z^2+1)^2 dxdydz$
Essendo
$T=
{(x,y,z)∈R^3:x^2+y^2≥1,x^2+y^2-2x≤0,z^2-2z≤0}$
Determiniamo in primo luogo gli estremi di integrazione di ogni variabile. Notiamo che l’equazione$ x^2+y^2=1 $è la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, mentre l’equazione $x^2+y^2-2x=0$ è la circonferenza con centro sull’asse x nel punto (1,0) e raggio 1. Determiniano i punti in cui le due disequazioni sono soddisfatte e si ha il sistema:
${ ( x^2+y^2≥1 ),( x^2+y^2-2x≤0 ):}$
Graficamente si ha:
L’area in giallo rappresenta l’area di integrazione. Passiamo a coordinate cilindriche:
$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rhosinvartheta ),( z=z):} $
Dalla terza disequazione dell’insieme T troviamo che z è compresa tra 0 e 2. Calcoliamo adesso l’integrale rispetto la variabile $z$:
$∬_T(x^2+y^2 )^(1/2) dxdy∫_0^2 1/(z^2+1)^2 dz $
L’integrale indefinito:
$∫ 1/(z^2+1)^2 dz=z/(2(z^2+1)) +1/2 arctgz+c$
Poniamo come estremi di integrazione i valori 0 e 2, e si ha:
$1/5+1/2 arctg2-(0+0)=1/5+1/2arctg2$
Non ci resta che calcolare l’integrale doppio:
$∬_T (x^2+y^2 )^(1/2) dxdy =∬_(T°)(rho)^2dvarthetadrho$
Determiniamo adesso l'insieme T° e si ha:
$T=T°={(vartheta ,rho):(vartheta)in[0,2pi[ rho in [0,+infty[}$
E' necessario quindi risolvere il sistema:
${ ( 0<=vartheta<=2pi ),( rho>=0 ),( rho^2>=1),(rho^2-2rhocosvartheta<=0):}$
da cui si ha:
$ϑ∈[-π/3;π/3]$ e $ρ∈[1;2cosϑ]$
Adesso dobbiamo studiare il nuovo integrale:
$∫_(-π/3)^(π/3)dϑ ∫_1^(2cosϑ)ρ^2 dρ$
integriamo rispetto a $rho$:
$∫_1^2cosϑ ρ^2 dρ=[ρ^3/3]^(2cosvartheta)_1=(8 cos^3ϑ)/3-1/3$
Adesso integriamo rispetto a $vartheta$:
$∫_(-π/3)^(π/3) (8 cos^3ϑ)/3-1/3 dϑ$
L’integrale della somma è uguale alla somma degli integrali, e si ha:
$∫_(-π/3)^(π/3) (8 cos^3ϑ)/3 dϑ-∫_(-π/3)^(π/3) 1/3 dϑ=
(8/3) [((senϑ cos^2ϑ)/3)+(2/3)(sinϑ)]_(-π/3)^(π/3)-(1/3) [ϑ]_(-π/3)^(π/3)=
(8/3)[(2 (√3))/24+(2 (√3))/3]-2π/3=(8/3)((9(√3))/12)-2π/3=2(√3)-2π/3$
In definitiva L’integrale proposto è dato da:
$∭_T((x^2+y^2 )^(1/2))/(z^2+1)^2 dxdydz=
∫_(-π/3)^(π/3) dϑ ∫_1^(2cosϑ) ρ^2 dρ ∫_0^2 1/(z^2+1)^2 dz=
=(2(√3)-2π/3)(1/5+1/(2arctg2))$
Risposte
Ho migliorato il formalismo...read me!
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