Integrale triplo dubbio risolutivo...
$ int int int_(V) (2x-y) dx dy dz $
$ V -= { ( z>=(x^2+y^2)/4 ),( x-2y+z<=5 ):} $
Il dominio è compreso tra un paraboloide e un piano...giusto?
Ora per la risoluzione ho dei dubbi...escluderei il cambiamento di coordinate...e provando con l'integrazione per fili:
$ int int_(D) (int_((x^2+y^2)/4)^(5-x+2y) 2x-y dz ) dx dy $
La risoluzione dell'integrale è molto semplice, ma poi per determinare D sorgono dei dubbi...rimarrei con l'unica disequazione $x-2y<=5$...
Sbaglio qualcosa?
Grazie
$ V -= { ( z>=(x^2+y^2)/4 ),( x-2y+z<=5 ):} $
Il dominio è compreso tra un paraboloide e un piano...giusto?
Ora per la risoluzione ho dei dubbi...escluderei il cambiamento di coordinate...e provando con l'integrazione per fili:
$ int int_(D) (int_((x^2+y^2)/4)^(5-x+2y) 2x-y dz ) dx dy $
La risoluzione dell'integrale è molto semplice, ma poi per determinare D sorgono dei dubbi...rimarrei con l'unica disequazione $x-2y<=5$...
Sbaglio qualcosa?
Grazie
Risposte
Occhio che il dominio [tex]$D$[/tex] è quello definito dalla limitazione [tex]$\tfrac{1}{4} (x^2+y^2)\leq 5-x+2y$[/tex]...
da qui però non so comunque come procedere...come determino gli estremi per $x$ ed $y$? Li pongo uguali a $0$?
Com'è fatto l'insieme [tex]$D$[/tex]?
Per capirlo basta portare tutte le variabili a sinistra e completare i quadrati... Prova!
Per capirlo basta portare tutte le variabili a sinistra e completare i quadrati... Prova!
Ho detto una sciocchezza...correggimi se sbaglio...
Il dominio D rappresenta i punti interni a questa circonferenza: $(x+2)^2+(y+4)^2=40$ quindi avrò che sia $x$ che $y$ variano nell'intervallo $[-2sqrt(10),2sqrt(10)]$...ci sono?
Il dominio D rappresenta i punti interni a questa circonferenza: $(x+2)^2+(y+4)^2=40$ quindi avrò che sia $x$ che $y$ variano nell'intervallo $[-2sqrt(10),2sqrt(10)]$...ci sono?
Mi correggo...essendo non centrata nell'origine dovrebbe essere $-2-2sqrt(10)<=x<=-2+2sqrt(10)$ ed $-4-2sqrt(10)<=y<=-4+2sqrt(10)$ giusto?
No; [tex]$(x,y)$[/tex] variano in [tex]$D$[/tex], che è un cerchio e non un quadrato (aiutati con un disegno, sempre).
Quindi, una volta risolto l'integrale rispetto a [tex]$z$[/tex] l'integrale triplo si trasforma in un integrale doppio e, in particolare, troverai qualcosa del tipo:
[tex]$\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
(con [tex]$f(x,y)$[/tex] appropriata); a questo punto puoi scegliere come svolgere questo integrale doppio nel modo che ti piace di più (ad esempio, puoi decidere di passare in coordinate polari, oppure di svolgerlo come dominio normale a qualche asse, etc...)
Quindi, una volta risolto l'integrale rispetto a [tex]$z$[/tex] l'integrale triplo si trasforma in un integrale doppio e, in particolare, troverai qualcosa del tipo:
[tex]$\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
(con [tex]$f(x,y)$[/tex] appropriata); a questo punto puoi scegliere come svolgere questo integrale doppio nel modo che ti piace di più (ad esempio, puoi decidere di passare in coordinate polari, oppure di svolgerlo come dominio normale a qualche asse, etc...)
In coordinate polari avrei:
$ { ( x=rhocos(theta)-2 ),( y=rhosin(theta)-4 ):} rArr { ( 0<=rho<=2sqrt(10) ),( 0<=theta<=2pi ):} $
giusto?
Mentre come dominio normale? provo
$-10<=y<=2
$x^2+4x+(y^2+8y-20)<=0 rArr (-4-sqrt(-4y^2-32y+96))/2<=x<= (-4+sqrt(-4y^2-32y+96))/2 $
Mi sembra un po' complicata come espressione... può essere?
Direi che è molto meglio in coordinate polari...
$ { ( x=rhocos(theta)-2 ),( y=rhosin(theta)-4 ):} rArr { ( 0<=rho<=2sqrt(10) ),( 0<=theta<=2pi ):} $
giusto?
Mentre come dominio normale? provo
$-10<=y<=2
$x^2+4x+(y^2+8y-20)<=0 rArr (-4-sqrt(-4y^2-32y+96))/2<=x<= (-4+sqrt(-4y^2-32y+96))/2 $
Mi sembra un po' complicata come espressione... può essere?
Direi che è molto meglio in coordinate polari...
Ciao a tutti! 
(sorrido perchè credo voi mi abbiate aiutata con un problema che mi faceva scervellare da febbraio!)
In pratica ho da calcolare il volume compreso tra $z=x^2+y^2$ e $x+y+z=1$, cioè problema identico a quello di Roccop86.
Da sola ero riuscita a capire che la prima cosa da fare è ridurre ad un integrale doppio svolgendo quello in $dz$ con estremi $x^2+y^2$ e $1-x-y$ (grande mago! ):
$int int_D(int_(x^2+y^2)^(1-x-y)dz)dxdy=int int_D(1-x-y-x^2-y^2)dxdy$
Dopo di che ho cercato in tutti i modi di capire cosa fosse $D$, ma niente...
Mentre ora che ho letto i vostri post ho provato a svolgerlo di nuovo ottenendo un risultato che sembra abbastanza accettabile e vorrei sapere da voi se invece è proprio esatto.
$D$ è definito dalla relazione $x^2+y^2<1-x-y$, quindi completando i quadrati si ottiene $(x+1/2)^2+(y+1/2)^2<3/2$.
Con il cambio in coordinate polari:
${(x+1/2=rhocos(theta)),(y+1/2=rhosin(theta)):}$
si ha:
$rho^2<3/2$ e quindi $0
$1-x-y-x^2-y^2 rArr 3/2-rho^2$
Infine:
$int int_D(1-x-y-x^2-y^2)dxdy=int_0^(2pi)(int_0^(sqrt(3/2))(3/2-rho^2)drho)d theta=sqrt(6)pi$
Giusto?!
Grazie mille in anticipo.
(sorrido perchè credo voi mi abbiate aiutata con un problema che mi faceva scervellare da febbraio!)In pratica ho da calcolare il volume compreso tra $z=x^2+y^2$ e $x+y+z=1$, cioè problema identico a quello di Roccop86.
Da sola ero riuscita a capire che la prima cosa da fare è ridurre ad un integrale doppio svolgendo quello in $dz$ con estremi $x^2+y^2$ e $1-x-y$ (grande mago!
):$int int_D(int_(x^2+y^2)^(1-x-y)dz)dxdy=int int_D(1-x-y-x^2-y^2)dxdy$
Dopo di che ho cercato in tutti i modi di capire cosa fosse $D$, ma niente...
Mentre ora che ho letto i vostri post ho provato a svolgerlo di nuovo ottenendo un risultato che sembra abbastanza accettabile e vorrei sapere da voi se invece è proprio esatto.
$D$ è definito dalla relazione $x^2+y^2<1-x-y$, quindi completando i quadrati si ottiene $(x+1/2)^2+(y+1/2)^2<3/2$.
Con il cambio in coordinate polari:
${(x+1/2=rhocos(theta)),(y+1/2=rhosin(theta)):}$
si ha:
$rho^2<3/2$ e quindi $0
$1-x-y-x^2-y^2 rArr 3/2-rho^2$
Infine:
$int int_D(1-x-y-x^2-y^2)dxdy=int_0^(2pi)(int_0^(sqrt(3/2))(3/2-rho^2)drho)d theta=sqrt(6)pi$
Giusto?!
Grazie mille in anticipo.
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