Integrale triplo - dominio
Buonasera.
Ho dei problemi nella risoluzione di un integrale triplo. Piu che altro nella determinazione del nuovo dominio dopo il passaggio alle coordinate sferiche, dove:
$(x= rho*sin(phi)*cos(theta))$
$(y=rho*sin(phi)*sin(theta))$
$(z=rho*cos(phi))$
Il dominio è: $(x>=0, y>=0, z>=0, x^2+y^2+z^2<=1)$.
Mi sono mossa nel seguente modo, ma non so se è corretto.
Ricavo che $rho$ è compreso tra 0 e 1 (dall'ultima disequazione).
Sostituisco alla z ----> $(rho*cos(phi))$ e lo pongo maggiore di 0.
Ricavo che $(cos(phi))$ è compreso tra -pigreco\2 e pigreco\2 (ma poiche phi è un valore compreso tra 0 e pigreco risulta che phi è compreso tra 0 e pi greco).
Sostituisco alla y ----> $(rho*sin(phi)*sin(theta))$ e lo pongo maggiore di 0.
Ricavo che $(sin(theta))$ è compreso tra 0 e pigreco.
Devo considerare anche x>=0?
Una volta trovato il dominio l'integrale si imposta facillmente. Ho dei dubbi su questa parte iniziale. Cosa manca?
Ho dei problemi nella risoluzione di un integrale triplo. Piu che altro nella determinazione del nuovo dominio dopo il passaggio alle coordinate sferiche, dove:
$(x= rho*sin(phi)*cos(theta))$
$(y=rho*sin(phi)*sin(theta))$
$(z=rho*cos(phi))$
Il dominio è: $(x>=0, y>=0, z>=0, x^2+y^2+z^2<=1)$.
Mi sono mossa nel seguente modo, ma non so se è corretto.
Ricavo che $rho$ è compreso tra 0 e 1 (dall'ultima disequazione).
Sostituisco alla z ----> $(rho*cos(phi))$ e lo pongo maggiore di 0.
Ricavo che $(cos(phi))$ è compreso tra -pigreco\2 e pigreco\2 (ma poiche phi è un valore compreso tra 0 e pigreco risulta che phi è compreso tra 0 e pi greco).
Sostituisco alla y ----> $(rho*sin(phi)*sin(theta))$ e lo pongo maggiore di 0.
Ricavo che $(sin(theta))$ è compreso tra 0 e pigreco.
Devo considerare anche x>=0?
Una volta trovato il dominio l'integrale si imposta facillmente. Ho dei dubbi su questa parte iniziale. Cosa manca?
Risposte
Inserisci correttamente le formule.
Grazie.
Grazie.
Ciao Bianca_,
Eh beh, direi...
Oltre a questo ti suggerirei caldamente di fare un disegno per renderti conto di qual è la situazione e le corrette limitazioni per gli angoli (quella per $\rho $ che hai già trovato è corretta: $0 <= \rho <= 1 $)
Per scrivere le formule correttamente poi basta racchiuderle fra simboli di dollaro.
Esempio con ciò che hai scritto:
$ D = {(x,y,z) \in \RR^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 1, x >= 0, y >= 0, z >= 0} $
"Bianca_":
Devo considerare anche x>=0?
Eh beh, direi...
Oltre a questo ti suggerirei caldamente di fare un disegno per renderti conto di qual è la situazione e le corrette limitazioni per gli angoli (quella per $\rho $ che hai già trovato è corretta: $0 <= \rho <= 1 $)
Per scrivere le formule correttamente poi basta racchiuderle fra simboli di dollaro.
Esempio con ciò che hai scritto:
"Bianca_":
Il dominio è: x>=0, y>=0, z>=0, x^2+y^2+z^2<=1
$ D = {(x,y,z) \in \RR^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 1, x >= 0, y >= 0, z >= 0} $
$ D = {(x,y,z) \in \RR^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 1, x >= 0, y >= 0, z >= 0} $
Grazie per l'aiuto pilloeffe e scusa gugo82.
In alcuni casi fare il disegno mi risulta davvero difficile.
Ma quindi muovermi come sto facendo è sbagliato?
Pensavo di calcolare i vari angoli e che quella fosse la soluzione ma effettivamente non mi torna con il risultato.
Ricapitolando (secondo il mio ragionamento):
z --> $p*cosp >=0$ da cui si ricava che $-pi/2=0$ per cui $0=0$ per cui risulta che $-pi/2
Ma come mi devo comportare rispetto all'intervallo in cui questi angoli variano?
Cosa sbaglio?
Graziee.
In alcuni casi fare il disegno mi risulta davvero difficile.
Ma quindi muovermi come sto facendo è sbagliato?
Pensavo di calcolare i vari angoli e che quella fosse la soluzione ma effettivamente non mi torna con il risultato.
Ricapitolando (secondo il mio ragionamento):
z --> $p*cosp >=0$ da cui si ricava che $-pi/2
Ma come mi devo comportare rispetto all'intervallo in cui questi angoli variano?
Cosa sbaglio?
Graziee.
"Bianca_":
In alcuni casi fare il disegno mi risulta davvero difficile.
Beh, qui si tratta semplicemente di una sfera di raggio $1$ nel primo ottante ($x >= 0$, $y >= 0$ e $z >= 0$): cosa c'è di difficile?
In questo caso nessuna difficoltà.
Ma volevo trovare un "metodo" che andasse bene per quasi tutti gli integrali.
Questo che ho proposto è sbagliato come approccio?
Ma volevo trovare un "metodo" che andasse bene per quasi tutti gli integrali.
Questo che ho proposto è sbagliato come approccio?
Il "metodo" che hai proposto è corretto, a patto di tener presenti tutte le variabili e di ricordarsi dello jacobiano della trasformazione $\rho^2 sin\phi $
Il sistema di coordinate sferiche proposto è il seguente:
${(x = \rho sin\phi cos\theta),(y = \rho sin\phi sin\theta),(z = \rho cos\phi):} $
Tale sistema di coordinate sferiche è quello con $\phi $ colatitudine, per cui naturalmente si ha $\rho >= 0 $, $\theta \in [0, 2\pi) $ e $\phi \in [0, \pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario fammi sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [0, 1]$, $\theta \in [0, \pi/2]$ e $\phi \in [0, \pi/2] $
Il sistema di coordinate sferiche proposto è il seguente:
${(x = \rho sin\phi cos\theta),(y = \rho sin\phi sin\theta),(z = \rho cos\phi):} $
Tale sistema di coordinate sferiche è quello con $\phi $ colatitudine, per cui naturalmente si ha $\rho >= 0 $, $\theta \in [0, 2\pi) $ e $\phi \in [0, \pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario fammi sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [0, 1]$, $\theta \in [0, \pi/2]$ e $\phi \in [0, \pi/2] $
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