Integrale triplo difficile

[giowre92]

Salve a tutti! Mi trovo alle prese con questo integrale che, purtroppo, non so risolvere :


$ int int int_(K) z dx dy dz $ dove $ K $ è la porzione di cubo $ 0

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Risposte

bosmer-votailprof

20 ott 2016, 16:59

"GIOWRE92": dove $ K $ è la porzione di cubo $ 0

Cosa significano "sopra" e "sotto", sopra e sotto rispetto a cosa? a quale asse? quali sono le disequazioni ?

Se intendi l'asse $z$ stai dicendo che le disequazioni sono :
$$
z>4-y
\\
z<-x-y+8
$$

??

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giowre92

20 ott 2016, 17:07

ho riportato testualmente la traccia di un appello precedente scritto dal prof. Anche a me sembrava ambiguo. Non credo sia legale impostare così:

$ 4-y<=z<=8-x-y $ poiché i due piani hanno inclinazioni diverse a mio parere, non so spiegarlo decentemente. Sei riuscito a disegnare una bozza del dominio?

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bosmer-votailprof

20 ott 2016, 17:43

Infatti è ambiguo...
In ogni caso, supponendo che il tuo prof intenda l'asse $z$, certo che è "legale" quell'impostazione ! non importa che inclinazione abbiano i piani, perché li stai solo dicendo che la coordinata $z$ rimane compresa fra quei due piani e questo è perfettamente sensato, anzi in questo caso sembra l'unica interpretazione.

Non so a cosa ti serva un disegno, in ogni caso come dicevi tu è l'interno di un cubo, ora il piano $4-y$ lo puoi disegnare facilmente sul piano cartesiano $y\times z$ dove è una retta con pendenza $-1$ e intercetta $4$ e questa è la sezione del piano che è sempre la medesima al variare delle $x$ e come puoi notare questa retta è anche la diagonale di due dei lati del cubo, quindi il piano taglia perfettamente a metà il cubo dividendolo in due prismi retti a base triangolare dove una delle due basi dei prismi poggia sul piano $y \times z$. La prima disequazione quindi ti dice che è il prisma superiore.

Ora cerchiamo di capire cosa dice la seconda disequazione, per capirlo studiamo l'equazione del piano, sui piani $x \times z$ , $y \times z$ , $x\times y$ che sono equivalenti a porre nell'equazione $z+x+y=8$ , rispettivamente $y=0$, $x=0$ e $z=0$ , otteniamo così tre rette tangenti ai tre vertici del cubo rispettivamente nei punti $(4,0,4) ; (0,4,4) ; (4,4,0)$ ora per finire studiamo l'equazione nel piano $z=4$ parallelo al piano $x\times y$ ed otteniamo l'equazione $y=4-x$ quindi il piano taglia il lato "superiore" (nel senso dell'asse $z$) perfettamente a metà, ovvero è la diagonale di tale lato.

Ora se provi a ragionare e disegnare come ti ho detto, ed applichi l'ultima diseguaglianza capirai che l'insieme $K$ è il prisma superiore che abbiamo ottenuto prima, privato della piramide regolare retta a base triangolare con vertice nel punto $(4,4,4)$ , dove i lati della piramide sono congruenti fra di loro, ma non con la base, e dove la base è un triangolo equilatero. Inoltre 3 spigoli della piramide coincidono con tre spigoli del cubo, mentre gli altri 3 spigoli della piramide coincidono con le diagonali di tre lati del cubo.


In ogni caso sapere come è fatto il dominio in questo caso è del tutto inutile, perché non c'è nessuna simmetria particolare, e la funzione da integrare è talmente banale che non necessita dell'utilizzo di alcuna simmetria...

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giowre92

20 ott 2016, 17:56

WOW! Era proprio quello che chiedevo! Grazie mille risposta super esauriente. Ora cerco di fare un disegno più attentamente per rendermi conto per bene di quanto hai scritto. Mi hai salvato! Giusto per curiosità ( ma anche utilità) , avendo capito che tu avresti risolto questo integrale senza soffermarti sulla figura, che considerazioni avresti tratto? Come avresti lavorato algebricamente "in sicurezza"? Mi spiego meglio. Io di base avrei integrato z tra i due piani e le altre variabili da 0 a 1, non avendo riferimenti geometrici. è evidente che tu sia molto più competente di me comunque

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bosmer-votailprof

20 ott 2016, 18:49

così mi lusinghi XD basta solo un po' di immaginazione

Dal mio punto di vista si trattava di risolvere l'integrale
$$
\int_0^4 dx \int_{4-x}^4 dy \int_{4-y}^{8-x-y} zdz+\int_0^4 dx \int_0^{4-x} dy \int_{4-y}^{4} zdz
$$

Questo perché se $z>4-y$ allora mi devo assicurare che al variare di $y$ , $z$ non esca dalla condizione $08-(x+y)$ adesso è chiaro che per $04-x$ quindi questo sarà il primo estremo di integrazione per l'integrale in $dy$ e andiamo sul sicuro perché abbiamo già visto che $0<4-x<4$ al variare di $x$ quindi la condizione non confligge con $0
Spero di essermi spiegato... e spero di non aver fatto errori

Comunque mi correggo, sapere come è fatto il dominio in questo caso poteva essere leggermente utile, ma come hai visto non indispensabile...

A mio avviso questo ragionamento risulta molto più facile che immaginarsi la forma del dominio...

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giowre92

20 ott 2016, 19:11

per citare Yotobi ( forse non in questo forum non sarà così noto) sei stato CRISTALLINO!!! ( nel post precedente volevo scrivere da 0 a 4 ma era comunque errato). Ti dirò di più. Forse (e dico forse) sei il primo (docente?) che mi fa realmente capire come ragionare sulle disequazioni che servono a determinare gli estremi di integrazione, invece che soffermarsi su domini difficili da vedere che, nella maggior parte dei casi, effettivamente non serve interpretare. Sei davvero un fenomeno, sono sincero, e penso di aver imparato qualcosa di generale da questa tua risposta, a prescindere dall'esercizio in questione. Grazie ancora !

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bosmer-votailprof

20 ott 2016, 19:47

Se mi sentivo lusingato prima ora sono quasi commosso...

In ogni caso quando è facile rappresentare il dominio vale la pena farlo, tuttavia se rappresentare il dominio fosse sempre indispensabile questo vorrebbe dire che risolvere integrali in $R^n$ con $n\ge 4$ sarebbe impossibile, il che sarebbe assurdo...

Lieto che tu ne abbia tratto un insegnamento di carattere generale, anche perché non so se sarei in grado di formalizzare il ragionamento al punto da renderlo generale o comunque indipendente dalle disequazioni, e non so nemmeno se sia possibile...

Penso che i docenti si soffermino sulla rappresentazione del dominio, per insistere sul fatto che per integrare devi "affettare" il dominio, però non saprei in fondo non sono mica un docente

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"GIOWRE92": dove $ K $ è la porzione di cubo $ 0

Cosa significano "sopra" e "sotto", sopra e sotto rispetto a cosa? a quale asse? quali sono le disequazioni ?

Se intendi l'asse $z$ stai dicendo che le disequazioni sono :
$$
z>4-y
\\
z<-x-y+8
$$

??

[giowre92]

ho riportato testualmente la traccia di un appello precedente scritto dal prof. Anche a me sembrava ambiguo. Non credo sia legale impostare così:

$ 4-y<=z<=8-x-y $ poiché i due piani hanno inclinazioni diverse a mio parere, non so spiegarlo decentemente. Sei riuscito a disegnare una bozza del dominio?

[bosmer-votailprof]

Infatti è ambiguo...
In ogni caso, supponendo che il tuo prof intenda l'asse $z$, certo che è "legale" quell'impostazione ! non importa che inclinazione abbiano i piani, perché li stai solo dicendo che la coordinata $z$ rimane compresa fra quei due piani e questo è perfettamente sensato, anzi in questo caso sembra l'unica interpretazione.

Non so a cosa ti serva un disegno, in ogni caso come dicevi tu è l'interno di un cubo, ora il piano $4-y$ lo puoi disegnare facilmente sul piano cartesiano $y\times z$ dove è una retta con pendenza $-1$ e intercetta $4$ e questa è la sezione del piano che è sempre la medesima al variare delle $x$ e come puoi notare questa retta è anche la diagonale di due dei lati del cubo, quindi il piano taglia perfettamente a metà il cubo dividendolo in due prismi retti a base triangolare dove una delle due basi dei prismi poggia sul piano $y \times z$. La prima disequazione quindi ti dice che è il prisma superiore.

Ora cerchiamo di capire cosa dice la seconda disequazione, per capirlo studiamo l'equazione del piano, sui piani $x \times z$ , $y \times z$ , $x\times y$ che sono equivalenti a porre nell'equazione $z+x+y=8$ , rispettivamente $y=0$, $x=0$ e $z=0$ , otteniamo così tre rette tangenti ai tre vertici del cubo rispettivamente nei punti $(4,0,4) ; (0,4,4) ; (4,4,0)$ ora per finire studiamo l'equazione nel piano $z=4$ parallelo al piano $x\times y$ ed otteniamo l'equazione $y=4-x$ quindi il piano taglia il lato "superiore" (nel senso dell'asse $z$) perfettamente a metà, ovvero è la diagonale di tale lato.

Ora se provi a ragionare e disegnare come ti ho detto, ed applichi l'ultima diseguaglianza capirai che l'insieme $K$ è il prisma superiore che abbiamo ottenuto prima, privato della piramide regolare retta a base triangolare con vertice nel punto $(4,4,4)$ , dove i lati della piramide sono congruenti fra di loro, ma non con la base, e dove la base è un triangolo equilatero. Inoltre 3 spigoli della piramide coincidono con tre spigoli del cubo, mentre gli altri 3 spigoli della piramide coincidono con le diagonali di tre lati del cubo.


In ogni caso sapere come è fatto il dominio in questo caso è del tutto inutile, perché non c'è nessuna simmetria particolare, e la funzione da integrare è talmente banale che non necessita dell'utilizzo di alcuna simmetria...

[giowre92]

WOW! Era proprio quello che chiedevo! Grazie mille risposta super esauriente. Ora cerco di fare un disegno più attentamente per rendermi conto per bene di quanto hai scritto. Mi hai salvato! Giusto per curiosità ( ma anche utilità) , avendo capito che tu avresti risolto questo integrale senza soffermarti sulla figura, che considerazioni avresti tratto? Come avresti lavorato algebricamente "in sicurezza"? Mi spiego meglio. Io di base avrei integrato z tra i due piani e le altre variabili da 0 a 1, non avendo riferimenti geometrici. è evidente che tu sia molto più competente di me comunque

[bosmer-votailprof]

così mi lusinghi XD basta solo un po' di immaginazione

Dal mio punto di vista si trattava di risolvere l'integrale
$$
\int_0^4 dx \int_{4-x}^4 dy \int_{4-y}^{8-x-y} zdz+\int_0^4 dx \int_0^{4-x} dy \int_{4-y}^{4} zdz
$$

Questo perché se $z>4-y$ allora mi devo assicurare che al variare di $y$ , $z$ non esca dalla condizione $08-(x+y)$ adesso è chiaro che per $04-x$ quindi questo sarà il primo estremo di integrazione per l'integrale in $dy$ e andiamo sul sicuro perché abbiamo già visto che $0<4-x<4$ al variare di $x$ quindi la condizione non confligge con $0
Spero di essermi spiegato... e spero di non aver fatto errori

Comunque mi correggo, sapere come è fatto il dominio in questo caso poteva essere leggermente utile, ma come hai visto non indispensabile...

A mio avviso questo ragionamento risulta molto più facile che immaginarsi la forma del dominio...

[giowre92]

per citare Yotobi ( forse non in questo forum non sarà così noto) sei stato CRISTALLINO!!! ( nel post precedente volevo scrivere da 0 a 4 ma era comunque errato). Ti dirò di più. Forse (e dico forse) sei il primo (docente?) che mi fa realmente capire come ragionare sulle disequazioni che servono a determinare gli estremi di integrazione, invece che soffermarsi su domini difficili da vedere che, nella maggior parte dei casi, effettivamente non serve interpretare. Sei davvero un fenomeno, sono sincero, e penso di aver imparato qualcosa di generale da questa tua risposta, a prescindere dall'esercizio in questione. Grazie ancora !

[bosmer-votailprof]

Se mi sentivo lusingato prima ora sono quasi commosso...

In ogni caso quando è facile rappresentare il dominio vale la pena farlo, tuttavia se rappresentare il dominio fosse sempre indispensabile questo vorrebbe dire che risolvere integrali in $R^n$ con $n\ge 4$ sarebbe impossibile, il che sarebbe assurdo...

Lieto che tu ne abbia tratto un insegnamento di carattere generale, anche perché non so se sarei in grado di formalizzare il ragionamento al punto da renderlo generale o comunque indipendente dalle disequazioni, e non so nemmeno se sia possibile...

Penso che i docenti si soffermino sulla rappresentazione del dominio, per insistere sul fatto che per integrare devi "affettare" il dominio, però non saprei in fondo non sono mica un docente