Integrale Triplo del volume del tetraedro
Ciao a tutti!
Vi chiedo aiuto per risolvere questo esercizio! Bisogna trovare il volume di un tetraedro con vertici $ (0,0,0); (a,0,0); (0,b,0); (0,0,c) $ . Mi è chiaro che per trovarne l'area devo svolgere $ \int\int\int dxdydz $
Per parametrizzare il dominio, ho utilizzato $ 0
Qualcuno può aiutarmi? Spero di aver descritto in modo chiaro la situazione!
Vi chiedo aiuto per risolvere questo esercizio! Bisogna trovare il volume di un tetraedro con vertici $ (0,0,0); (a,0,0); (0,b,0); (0,0,c) $ . Mi è chiaro che per trovarne l'area devo svolgere $ \int\int\int dxdydz $
Per parametrizzare il dominio, ho utilizzato $ 0
Qualcuno può aiutarmi? Spero di aver descritto in modo chiaro la situazione!
Risposte
Se fai il disegno vedi che, una volta fissato un punto $P(x,y)$ appartenente al triangolo nel piano $xy$, la $z$ corrispondente varia tra $0$ e il punto di intersezione con il piano passante per i punti $(a,0,0);(0,b,0);(0,0,c)$. Quindi basta che ti trovi il piano passante per quei tre punti ed espliciti $z$.
Ciao cclarasol,
Benvenuta sul forum!
Farei così: porrei $O(0,0,0) $, $A(a,0,0) $, $ B(0,b,0) $ e $C(0,0, c) $
La generica equazione di un piano è $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 $. Dato che il piano passante per i tre punti $A $, $B $ e $C$ non passa per $O $, possiamo dividere tutto per $\delta $ ottenendo così l'equazione $a' x + b'y + c'z + 1 = 0 $. Imponendo il passaggio per i tre punti $A $, $B $ e $C$ si trovano subito i valori dei coefficienti $a' $, $b' $ e $c' $:
$ A(a,0,0) \implies a'a + 1 = 0 \implies a' = -1/a $
$ B(0,b,0) \implies b'b + 1 = 0 \implies b' = -1/b $
$ C(0,0,c) \implies c'c + 1 = 0 \implies c' = -1/c $
Dunque il piano passante per i tre punti $A $, $B $ e $C$ ha equazione $x/a + y/b + z/c = 1 $
In buona sostanza devi calcolare il volume dell'insieme seguente:
$ E := {(x,y,z) \in \RR^3 : x > 0, y > 0, z > 0, x/a + y/b + z/c < 1} $
Integrando per fili paralleli all'asse $z $ si ha:
$ V = \int \int \int_E dx dy dz = \int_D (\int_0^{c(1 - x/a -y/b)} dz) dx dy = c \int_D (1 - x/a -y/b) dx dy $
ove $D := {(x,y) \in \RR^2 : 0 < x < a, 0 < y < b(1 - x/a)} $
Dato che $D $ è $y$-semplice si ha:
$ V = c \int_D (1 - x/a -y/b) dx dy = c \int_0^a [\int_0^{b(1 - x/a)} (1 - x/a -y/b) dy] dx = $
$ = c \int_0^a [y - x/a y -y^2/(2b)]_0^{b(1 - x/a)} dx = c \int_0^a [b(1 - x/a) - x/a b(1 - x/a) - (b^2(1 - x/a)^2)/(2b)] dx = $
$ = bc \int_0^a [1 - x/a - x/a + x^2/a^2 - (1 - x/a)^2/2] dx = bc \int_0^a [1 - 2 x/a + x^2/a^2 - 1/2 + x/a - x^2/(2a^2)] dx = $
$ = bc \int_0^a [1/2 - x/a + x^2/(2a^2)] dx = bc [x/2 - x^2/(2a) + x^3/(6a^2)]_0^a = $
$ = 1/6 abc $
Benvenuta sul forum!
Farei così: porrei $O(0,0,0) $, $A(a,0,0) $, $ B(0,b,0) $ e $C(0,0, c) $
La generica equazione di un piano è $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 $. Dato che il piano passante per i tre punti $A $, $B $ e $C$ non passa per $O $, possiamo dividere tutto per $\delta $ ottenendo così l'equazione $a' x + b'y + c'z + 1 = 0 $. Imponendo il passaggio per i tre punti $A $, $B $ e $C$ si trovano subito i valori dei coefficienti $a' $, $b' $ e $c' $:
$ A(a,0,0) \implies a'a + 1 = 0 \implies a' = -1/a $
$ B(0,b,0) \implies b'b + 1 = 0 \implies b' = -1/b $
$ C(0,0,c) \implies c'c + 1 = 0 \implies c' = -1/c $
Dunque il piano passante per i tre punti $A $, $B $ e $C$ ha equazione $x/a + y/b + z/c = 1 $
In buona sostanza devi calcolare il volume dell'insieme seguente:
$ E := {(x,y,z) \in \RR^3 : x > 0, y > 0, z > 0, x/a + y/b + z/c < 1} $
Integrando per fili paralleli all'asse $z $ si ha:
$ V = \int \int \int_E dx dy dz = \int_D (\int_0^{c(1 - x/a -y/b)} dz) dx dy = c \int_D (1 - x/a -y/b) dx dy $
ove $D := {(x,y) \in \RR^2 : 0 < x < a, 0 < y < b(1 - x/a)} $
Dato che $D $ è $y$-semplice si ha:
$ V = c \int_D (1 - x/a -y/b) dx dy = c \int_0^a [\int_0^{b(1 - x/a)} (1 - x/a -y/b) dy] dx = $
$ = c \int_0^a [y - x/a y -y^2/(2b)]_0^{b(1 - x/a)} dx = c \int_0^a [b(1 - x/a) - x/a b(1 - x/a) - (b^2(1 - x/a)^2)/(2b)] dx = $
$ = bc \int_0^a [1 - x/a - x/a + x^2/a^2 - (1 - x/a)^2/2] dx = bc \int_0^a [1 - 2 x/a + x^2/a^2 - 1/2 + x/a - x^2/(2a^2)] dx = $
$ = bc \int_0^a [1/2 - x/a + x^2/(2a^2)] dx = bc [x/2 - x^2/(2a) + x^3/(6a^2)]_0^a = $
$ = 1/6 abc $
Grazie mille ragazzi! Siete stati degli angeli! 
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