Integrale triplo.. cosa sto sbagliando?

[21zuclo]

Ciao a tutti, oggi ho fatto questo esercizio, è un integrale triplo, ma il risultato mi viene sbagliato, non riesco bene a capire dove sto sbagliando, ho pensato ad una cosa (l'ho scritta alla fine dell'esercizio), ma non ne sono sicuro. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo

Dico già che il risultato dell'integrale triplo deve venire $1/24$

Calcolare $ \int_A f(x,y)dxdydz $ ove $ f(x,y)=xy $ e $ A={(x,y,z)\in RR^3 t.c. 0\leqx\leq 1, 0\leq y\leq 1, x^2+y^2\leq z\leq 1} $

ho provato a svolgere così

$ \int_(0)^(1)dx\int_(0)^(1)dy(\int_(x^2+y^2)^(1)xy dz) =$
$ =\int_(0)^(1)dx\int_(0)^(1)xy(1-(x^2+y^2))dy= $
$ =\int_(0)^(1)dx\int_(0)^(1)xy-xy(x^2+y^2)dy= $

svolgo
$ \int_(0)^(1)xy-xy(x^2+y^2)dy=x\int_(0)^(1)ydy-\int_(0)^(1)x^3y+xy^2dy=x/2-x^3/2-x/4 $

quindi
$ \int_(0)^(1)x/2-x^3/3-x/4dx=\int_(0)^(1)x/4-x^3/2dx=1/4 (x^2/2|_(0)^(1)) -1/2 x^4/4 |_(0)^(1)=1/8-1/8 =0 $

e invece l'integrale deve venire $1/24$. Cosa ho sbagliato?

Ho pensato.. allora sto integrando per fili, poichè prima fisso la variabile $z$, quindi ok che la variabile $x$ varia tra 2 valori.. ma allora la variabile $y$ deve variare tra 2 funzioni..

È per questo che non mi viene?.. Non ne sono sicuro..

[Davidemas1]

Ciao. Guarda il metodo di risoluzione è giusto, hai semplicemente sbagliato l'ultimo calcolo:
$ \int_(0)^(1)x/2-x^3/3-x/4dx=1/24 $
Rifai un secondo il calcolo che è semplicissimo.
Ciaoo

[21zuclo]

"Davidemas":Ciao. Guarda il metodo di risoluzione è giusto, hai semplicemente sbagliato l'ultimo calcolo:
$ \int_(0)^(1)x/2-x^3/3-x/4dx=1/24 $
Rifai un secondo il calcolo che è semplicissimo.
Ciaoo

ah il metodo di risoluzione è giusto!.. menomale.. per un attimo boh..credevo di aver sbagliato..

Allora ho ricontrollato ora i calcoli per bene..

$ \int_(0)^(1)x/2-x^3/3-x/4dx=\int_(0)^(1)x/4-x^3/3dx=1/4 (x^2/2|_(0)^(1))-1/3 (x^4/4|_(0)^(1))= $

$ =1/4 \cdot 1/2-1/3 \cdot 1/4=1/4(1/2-1/3)=1/24 $

grazie! E io che pensavo di aver sbagliato proprio il procedimento..che scemo che sono!

[21zuclo]

Mi sono accorto che ho sbagliato a scrivere su qui una cosa e infatti si nota se si legge bene quello che ho scritto

Nell'ultimo passaggio è $ int_(0)^(1) x/2-x^3/2-x/4 dx $

E non quello che ho scritto! Quindi mi viene zero l'integrale

$ int_(0)^(1) x/2-x/4-x^3/2 dx=1/8 - 1/8=0 $

Quindi dov'è l'errore? É quello a cui ho già pensato io?

Rivordo che l'integrale deve venire $1/24 $

[Brancaleone1]

Mah l'integrale viene nullo pure a me:

$int_0^1 int_0^1 (int_(x^2+y^2)^1 (xy) text(d)z) text(d)y text(d)x=$

$=int_0^1 (int_0^1 [xy-xy cdot (x^2+y^2)]text(d)y) text(d)x=$

$=int_0^1 (int_0^1 [xy-x^3y-xy^3]text(d)y) text(d)x=$

$=int_0^1 [1/2xy^2-1/2x^3y^2-1/4xy^4]_0^1 text(d)x=$

$=int_0^1 (1/2x-1/2x^3-1/4x) text(d)x=$

$=[1/4x^2-1/8x^4-1/8x^2]_0^1=0$

Forse - o meglio: se non sono io a sbagliare - il risultato o la traccia non sono corretti

[55sarah]

state integrando solo su una zona positiva.. stai solamente nel primo ottante, per cui l'integrale non può venire $0$

Si può integrale sia per fili verticali che per strati.

Personalmente integro per fili, quindi ok $x\in [0,1], z\in[x^2+y^2,1]$

attenzione! l'insieme dato nel testo ci dice $0\leq y\leq 1$

se metto $x=y=1$ mi viene che $2\leq z\leq 1$, e c'è qualche cosa che non va!

però stiamo integrando per fili, ecco qui un bello schema come si integra per fili o per strati qui

quindi per fili.. dove varia la variabile $y$? semplice $x^2+y^2\leq 1\to y\leq \sqrt{1-x^2}$

quindi il nostro integrale è
$ \int_(0)^(1)\int_(0)^(\sqrt{1-x^2})\int_(x^2+y^2)^(1)f(x,y)dzdydx $

ho provato a svolgere i calcoli..alla fine dovresti avere..(ti scrivo l'ultimo passaggio)

$ 1/2(\int_(0)^(1)x/2-x^3+x^5/2dx)=1/8-1/8+1/24=1/24 $

si bisognava solo ragionare un po'..