Integrale triplo. coordinate ellittiche?
Salve a tutti! Sto facendo esercizi per l'esame di lunedì. Ho trovato questo integrale :
$ int int int_(|R)x|z| dx dy dz $
$ R={(x,y,z) in R^3 :sqrt(x^2+z^2)
ora vi è chiaramente una simmetria rispetto al piano xy ed essendo la funzione pari il tutto si riduce ad unico integrale moltiplicato per 2, ma non è questo il problema. Più che altro la mia idea era quella di integrare $ y $ tra i due estremi sopra riportati, successivamente sfruttare la disuguaglianza $sqrt(x^2+z^2)<1/2 x +2 $ per risalire ad un'ellisse mediante il metodo del completamento del quadrato e avere così gli estremi di integrazione nel piano $ xz $ . Dal momento che l'esercizio in questione l'ho trovato svolto in modo diverso non capisco se il mio metodo sia sbagliato oppure se ce ne siano 2 ugualmente validi. Cosa ne pensate?
$ int int int_(|R)x|z| dx dy dz $
$ R={(x,y,z) in R^3 :sqrt(x^2+z^2)
ora vi è chiaramente una simmetria rispetto al piano xy ed essendo la funzione pari il tutto si riduce ad unico integrale moltiplicato per 2, ma non è questo il problema. Più che altro la mia idea era quella di integrare $ y $ tra i due estremi sopra riportati, successivamente sfruttare la disuguaglianza $sqrt(x^2+z^2)<1/2 x +2 $ per risalire ad un'ellisse mediante il metodo del completamento del quadrato e avere così gli estremi di integrazione nel piano $ xz $ . Dal momento che l'esercizio in questione l'ho trovato svolto in modo diverso non capisco se il mio metodo sia sbagliato oppure se ce ne siano 2 ugualmente validi. Cosa ne pensate?
Risposte
Fammi vedere come risaliresti ad un ellisse =)
ahahahaha ! Noto un velo di ironia ( indice del fatto che ho certamente detto una stupidaggine...) Ciononostante procedo. 
Comunque il piano è $ 1/2x +3 $ , nel post iniziale avevo sbagliato a scrivere.
$ x^2+z^2<1/4x^2 +9+3x $
$ 3/4x^2-3x +z^2<9 $
$ 3x^2-12x+4z^2<36 $
il primo membro ( tranne la parte in $ z^2 $ ) dovrebbe essere $ (sqrt3 x-2 sqrt3)^2 $ tranne il secondo quadrato.
sommo e sottraggo $ 12 $ ottenendo :
$ (sqrt3 x-2sqrt3)^2 +4z^2<48 $
$ 3 (x-2)^2 +4z^2<48 $
che diventa
$ (x-2)^2/16 +z^2/12<1 $
DOve sbaglio? A parte qualche possibile errore di calcolo in xz il dominio non dovrebbe essere un'ellisse?
Comunque il piano è $ 1/2x +3 $ , nel post iniziale avevo sbagliato a scrivere.
$ x^2+z^2<1/4x^2 +9+3x $
$ 3/4x^2-3x +z^2<9 $
$ 3x^2-12x+4z^2<36 $
il primo membro ( tranne la parte in $ z^2 $ ) dovrebbe essere $ (sqrt3 x-2 sqrt3)^2 $ tranne il secondo quadrato.
sommo e sottraggo $ 12 $ ottenendo :
$ (sqrt3 x-2sqrt3)^2 +4z^2<48 $
$ 3 (x-2)^2 +4z^2<48 $
che diventa
$ (x-2)^2/16 +z^2/12<1 $
DOve sbaglio? A parte qualche possibile errore di calcolo in xz il dominio non dovrebbe essere un'ellisse?
Non sbagli da nessuna parte, è giusto... ora che hai trovato l'ellisse sai subito i valori fra cui variano $x$ e $z$ 
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