Integrale triplo cono gelato
Salve a tutti, sono qui perché ho qualche dubbio sul procedimento corretto da utilizzare per risolvere questo integrale triplo. Vi mostro ciò che ho pensato di fare.
Calcolare il seguente integrale triplo:
\( \int \int \int_C \frac{z}{x^2+y^2+1} dxdydz \)
dove C è il cono gelato formato dal cono \( z=\sqrt{x^2+y^2}\) e dalla pallina ottenuta considerando la semisfera \(x^2+y^2+z^2=2\) (usare le coordinate cilindriche)
io ho pensato di passare in coordinate cilindriche (come richiesto) e di spezzare l'integrale, ritrovandomi alla fine in questa situazione:
\(\int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi}{4} dt \int_0^1 dr \int_0^r \frac{z}{r^2+1}rdz +\int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi}{4} dt \int_1^\sqrt{2} dr \int_0^\sqrt{2-r^2} \frac{z}{r^2+1}rdz\)
può essere un procedimento corretto o sbaglio qualcosa? Grazie mille a chi mi risponderà. (Se è necessario aggiungo anche i passaggi che mi hanno portata a quell'integrale)
Calcolare il seguente integrale triplo:
\( \int \int \int_C \frac{z}{x^2+y^2+1} dxdydz \)
dove C è il cono gelato formato dal cono \( z=\sqrt{x^2+y^2}\) e dalla pallina ottenuta considerando la semisfera \(x^2+y^2+z^2=2\) (usare le coordinate cilindriche)
io ho pensato di passare in coordinate cilindriche (come richiesto) e di spezzare l'integrale, ritrovandomi alla fine in questa situazione:
\(\int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi}{4} dt \int_0^1 dr \int_0^r \frac{z}{r^2+1}rdz +\int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi}{4} dt \int_1^\sqrt{2} dr \int_0^\sqrt{2-r^2} \frac{z}{r^2+1}rdz\)
può essere un procedimento corretto o sbaglio qualcosa? Grazie mille a chi mi risponderà. (Se è necessario aggiungo anche i passaggi che mi hanno portata a quell'integrale)
Risposte
Puoi spezzare l'integrale, ma non è così conveniente. Il dominio di integrazione è:
\[ \mathcal{D} := \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; \sqrt{ x^2 + y^2 } \leq z \leq \sqrt{2 - x^2 - y^2} \right \} \]
Passando alle coordinate cilindriche:
\[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases}, \; \text{det} \; J = \rho, \; \mathcal{D}_{\star} := \left \{ (\theta, \rho, z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; 0 \leq \theta \leq 2\pi, \; 0 \leq \rho \leq \sqrt{2}, \; \rho \leq z \leq \sqrt{2 - \rho^2} \right \} \]
Dunque:
\[ \begin {aligned} \underset { \mathcal{D}} { \iiint } \frac{ z}{x^2 + y^2 +1} \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z &= \underset{\mathcal{D}_{\star}} {\iiint} \frac{ \rho z}{\rho^2 + 1} \; \text{d} \theta \; \text{d} \rho \; \text{d} z \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left ( \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\rho }{\rho^2 + 1} \left ( \int_{\rho}^{\sqrt{2-\rho^2}} { z} \; \text{d} z \right ) \; \text{d} \rho \right ) \; \text{d} \theta \end{aligned} \]
che è molto simile a ciò che avevi ottenuto tu, se non per gli estremi di \( \theta \). Come li hai stabiliti?
\[ \mathcal{D} := \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; \sqrt{ x^2 + y^2 } \leq z \leq \sqrt{2 - x^2 - y^2} \right \} \]
Passando alle coordinate cilindriche:
\[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases}, \; \text{det} \; J = \rho, \; \mathcal{D}_{\star} := \left \{ (\theta, \rho, z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; 0 \leq \theta \leq 2\pi, \; 0 \leq \rho \leq \sqrt{2}, \; \rho \leq z \leq \sqrt{2 - \rho^2} \right \} \]
Dunque:
\[ \begin {aligned} \underset { \mathcal{D}} { \iiint } \frac{ z}{x^2 + y^2 +1} \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z &= \underset{\mathcal{D}_{\star}} {\iiint} \frac{ \rho z}{\rho^2 + 1} \; \text{d} \theta \; \text{d} \rho \; \text{d} z \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left ( \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\rho }{\rho^2 + 1} \left ( \int_{\rho}^{\sqrt{2-\rho^2}} { z} \; \text{d} z \right ) \; \text{d} \rho \right ) \; \text{d} \theta \end{aligned} \]
che è molto simile a ciò che avevi ottenuto tu, se non per gli estremi di \( \theta \). Come li hai stabiliti?
Innanzitutto grazie mille! Poi per quanto riguarda gli estremi di theta, più che altro li ho estrapolati dal disegno, dovendo considerare il cono, è sbagliato?
In che senso estrapolati dal disegno? Gli estremi potrebbero non essere \(0, 2 \pi \), ma non riesco ad inquadrare perché dovrebbero essere proprio \( \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4} \pi \).
Perché devo prendere il cono gelato con la calotta della sfera sopra che va a formare la pallina del gelato, essendo un cono ho pensato che \(\theta\) dovesse variare tra le bisettrici che vanno a formare il cono...inoltre è una semisfera, non una sfera intera, per questo ho supposto fosse improbabile che potesse variare tra \( 0\) e \(2\pi \). Senza il disegno non riesco a spiegarlo purtroppo.
scusate un attimo, ma rho non dovrebbe variare tra 0 e 1?
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