Integrale triplo con funzione max

[davide9715]

Salve, ho dei dubbi riguardo al mio procedimento per risolvere l'integrale.

Sia $M=\{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3: 0\leq u,0\leq v, 0 \leq w\leq \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}-1 \}$

Calcolare, $\int_{M} w \max\{u,v\} dudvdw$

Utilizzo le coordinate cilindriche


\begin{cases}
u = \rho \cos(\theta)\\
v = \rho \sin(\theta) \qquad \rho\geq 0, \ \theta\in[0,2\pi]\\
w = w\\
\end{cases}


$|J|= \rho$

Riscrivo le condizioni e ottengo

$M' = \{(\rho, \theta, w): 0\leq\rho\leq 1, \theta\in[0,\frac{\pi}{2}], 0 \leq w \leq \frac{1}{\rho}-1 \}$

Per definizione,
$\max(\rho\cos\theta,rho\sin\theta)=$\begin{cases}
\rho\cos\theta \ \text{se} \ \rho\cos\theta\geq \rho\sin\theta\\
\rho\sin\theta \ \text{se} \ \rho\cos\theta < \rho\sin\theta \\
\end{cases}


Vorrei chiedere una conferma sul seguente svolgimento o se ho commesso errori in precedenza. Dato che

$\rho\cos\theta\geq \rho\sin\theta \iff \theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$
$\rho\cos\theta < \rho\sin\theta \iff \theta\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$

Allora riscrivo l'integrale secondo l'angolo $\theta$, cioè se $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{1}{\rho} -1} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} w \rho\cos(\theta)\rho \ d\theta dwd\rho $

se $\theta\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$ allora

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{1}{\rho} -1} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} w \rho\sin(\theta)\rho \ d\theta dwd\rho$

e in seguito il calcolo dei due integrali tripli. Grazie per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao DAVIDE9792,

Mi pare corretto.
Salvo errori mi risulta come segue:

$\int_{M} w max{u,v} \text{d}u\text{d}v\text{d}w = \int_{M'} w max{\rho cos\theta,\rho sin\theta} \rho\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w = $
$ = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{1}{\rho} -1} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} w \rho cos\theta \rho\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w + \int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{1}{\rho} -1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} w \rho sin\theta \rho\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w = $
$ = 1/(6\sqrt2) + 1/(6\sqrt2) = 2/(6\sqrt2) = 1/(3\sqrt2) = sqrt2/6 $

[davide9715]

Ciao pilloeffe, ho trovato lo stesso risultato, grazie!