Integrale triplo con due moduli

[salvatoresambito]

Salve a tutti , oggi provando a risolvere un integrale triplo, ho trovato difficoltà a rappresentare o comunque studiare questo dominio :
$-1+abs(x-y)<=z<=1-abs(x+y)$
Ho pensato di fare cosi :
$x+y>=0 ->abs(x+y)=x+y $
$x+y<0 -> abs(x+y)=-x-y$
$x-y>=0-> abs(x-y)=x-y$
$x-y<0->abs(x-y)=y-x $
Da qui in poi non so come procedere, devo riassumere tutto in 2 casi?oppure potrei considerare $z=0$e rappresentare il dominio sul piano xy

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

Da $ -1+|x-y|<=z<=1-|x+y| \implies |x - y| + |x + y| <= 2 $ che è un quadrato di lato $2$ avente le diagonali che si intersecano nell'origine $O(0,0) $, quindi $ - 1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1 $.

[salvatoresambito]

"pilloeffe":Ciao Salvy,

Da $ -1+|x-y|<=z<=1-|x+y| \implies |x - y| + |x + y| <= 2 $ che è un quadrato di lato $2$ avente le diagonali che si intersecano nell'origine $O(0,0) $, quindi $ - 1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1 $.

Questo accade nel piano xy, considerando z=0, non capisco come devo impostare l'integrale triplo cioè $int_A1dxdydz$

[Quinzio]

La figura e' un tetraedro, "appoggiato" non su una faccia, ma su uno spigolo.

Conviene fare un cambio di variabili
$x' = x-y$
$y' = x+y$

ricordandosi che lo jacobiano della trasformazione e' 2.

In tal modo il volume diventa

$ -1+abs(x')<=z<=1-abs(y') $.

L'integrale di volume allora e' (NB le variabili hanno tutte l'apice che ometto per semplicita' ovvero $x$ leggasi $x'$, ecc.)

$1/2 \int_{-1}^{1} \int_{-1+z}^{1-z} \int_{-1-z'}^{1+z} dx\ dy\ dz = $

$2 \int_{-1}^{1} (1-z)(1+z) \ dz = 8/3$.

[salvatoresambito]

"Quinzio":Conviene fare un cambio di variabili
$x' = x-y$
$y' = x+y$

ricordandosi che lo jacobiano della trasformazione e' 2.

In tal modo il volume diventa

$ -1+abs(x')<=z<=1-abs(y') $.

L'integrale di volume allora e'

$1/2 \int_{-1}^{1} \int_{-1+z}^{1-z} \int_{-1-z}^{1+z} dx\ dy\ dz = $

$2 \int_{-1}^{1} (1-z)(1+z) \ dz = 8/3$.

Non capisco come si scelgono gli estremi di integrazione... Qual è la logica? Avendo solo la condizione di z?

[Quinzio]

Sono le classiche disequazioni.
Esempio con l'ascissa:

$-1+|x|
$|x|
$-(z+1) < x < z+1 $

[Quinzio]

Questo e' il volume.
Spero si capisca come e' orientato, si vedono gli assi che spuntano fuori.

[salvatoresambito]

"Quinzio":Questo e' il volume.
Spero si capisca come e' orientato, si vedono gli assi che spuntano fuori.

Ho capito, non ho mai visto le trasformazioni però, di conseguenza mi confondo risolvendo quel modulo perché ho la variabile x legata alla y e di conseguenza anche alla z. Perdo di mira questa condizione $ -1+|x|

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[Quinzio]

Beh questo e' gia' un esercizio abbastanza antipatico.

Volendo si fa anche senza trasformazione, ma e' complicato.
La trasformazione non e' altro che un cambio di variabili alla fine.

Ma senza trasformazione hai una cosa del tipo...

con il segno di minore di sinistra

$ -1+abs(x-y)<=z $

$ -(z+1)< x-y< z+1 $

$ -(z+1)+y< x < z+1+y $

e con quello di destra

$ 1-abs(x+y) > z $

$ 1-abs(x+y) > z $

$ abs(x+y) < 1-z $

$-(1-z)-y < x < 1-z-y $

Vanno combinate assieme

$max[(-1-y+z),(-1+y-z)] < x < min[(1-y-z),(1+y+z)] $

Poi l'integrale interno sarebbe da spezzare in 3 parti a causa delle funzioni max e min e sarebbero da distinguere i casi z<0 e z>0.
Ci si perde.

[salvatoresambito]

Bello insidioso , ma per riuscire a fare questi esercizi quale parte di teoria devo studiare?Sul bramanti gli integrali tripli vengono spiegati in 2 pagine ...

[Quinzio]

Ma non credo che ci sia una gran teoria dietro a questi integrali tripli.
Sono ostici e antipatici.
Voglio dire: non e' tanto il fatto che siano tripli a renderli difficili. Un integrale e' un integrale.
Una volta capiti ad es. quelli doppi, dopo il giochetto e' sempre quello. Sono integrali annidati dentro ad altri integrali. La parte difficile e' mettere giu' gli estremi e risolvere le eventuali disequazioni e intersezioni di facce, spiegoli, ecc.
Si potrebbero anche fare gli integrali quadrupli, in 4D, ma a parte i casi piu' semplici, quasi nessuno riuscirebbe a districarsi nel mare di disequazioni. E la visualizzazione diventa pressoche' impossibile.
Una volta qui aveva girato un esercizio simpatico su una sfera n-dimensionale, con n indeterminato a priori. Ma di nuovo, e' un caso banale, la sfera.

Bisogna fare tanti esercizi, come per tutta la matematica del resto col tempo alcuni ragionamenti diventano scontati.
Direi che in sede d'esame dovrebbero darti solo i casi piu' semplici, tipo integrazioni su cilindri e cubi. Fine.
Tetraedri appoggiati su spigoli non dovrebbero esserci. Se no l'esame lo passano in 2.

C'e' qualche trucco tipo il cambio di variabili che hai visto e poi aiuta molto visualizzare la figura e le sue sezioni.

Ad esempio se ti chiedessi di disegnare le sezioni della figura (senza trasformazione) per ...
$z = -1$
$z = -1/2$
$z = 0$
$z = 1/2$
$z = 1$

Prova a disegnarle.
Poi disegna quelle con la trasformazione.

[salvatoresambito]

"Quinzio":Ma non credo che ci sia una gran teoria dietro a questi integrali tripli.
Sono ostici e antipatici.
Voglio dire: non e' tanto il fatto che siano tripli a renderli difficili. Un integrale e' un integrale.
Una volta capiti ad es. quelli doppi, dopo il giochetto e' sempre quello. Sono integrali annidati dentro ad altri integrali. La parte difficile e' mettere giu' gli estremi e risolvere le eventuali disequazioni e intersezioni di facce, spiegoli, ecc.
Si potrebbero anche fare gli integrali quadrupli, in 4D, ma a parte i casi piu' semplici, quasi nessuno riuscirebbe a districarsi nel mare di disequazioni. E la visualizzazione diventa pressoche' impossibile.
Una volta qui aveva girato un esercizio simpatico su una sfera n-dimensionale, con n indeterminato a priori. Ma di nuovo, e' un caso banale, la sfera.

Bisogna fare tanti esercizi, come per tutta la matematica del resto col tempo alcuni ragionamenti diventano scontati.
Direi che in sede d'esame dovrebbero darti solo i casi piu' semplici, tipo integrazioni su cilindri e cubi. Fine.
Tetraedri appoggiati su spigoli non dovrebbero esserci. Se no l'esame lo passano in 2.

C'e' qualche trucco tipo il cambio di variabili che hai visto e poi aiuta molto visualizzare la figura e le sue sezioni.

Ad esempio se ti chiedessi di disegnare le sezioni della figura (senza trasformazione) per ...
$z = -1$
$z = -1/2$
$z = 0$
$z = 1/2$
$z = 1$

Prova a disegnarle.
Poi disegna quelle con la trasformazione.

Peccato che quello era un esercizio d’esame del 2014...mi sembrano più esercizi per “matematici” e non ingegneri ma comunque , riguardo all’esercizio da te proposto le sezioni le devo disegnare nello spazio?O nel piano xz ?

[Quinzio]

Eh, guarda anche gli altri esami e vedi su che livello stanno. Se sono abbastanza difficili fai molti esercizi e poi si incrociano le dita.
Le sezioni sono piani nello spazio. Chiaramente sarebbero piani paralleli al piano xy, ma tu le disegni sovrapposte sul piano xy. Le classiche sezioni da disegno meccanico.

[salvatoresambito]

"Quinzio":Eh, guarda anche gli altri esami e vedi su che livello stanno. Se sono abbastanza difficili fai molti esercizi e poi si incrociano le dita.
Le sezioni sono piani nello spazio. Chiaramente sarebbero piani paralleli al piano xy, ma tu le disegni sovrapposte sul piano xy. Le classiche sezioni da disegno meccanico.

Quindi dovrei rappresentare quello che succede a x, y quando la z è fissata giusto?

[Quinzio]

Si.
Inizia con le variabili trasformate, che e' decisamente piu' semplice.