Integrale triplo con coordinate cilindriche (stress -causa esame-)

[federicomarzocchi97]

Buona sera a tutti, l'esercizio che vado a proporvi probabilmente vi risulterà banale, tuttavia vi sarei grato rispondeste e mi deste una mano a capire il mio errore e soprattutto ad indicarmi il corretto procedimento

il testo del problema assegnato dice:

Passando in coordinate cilindriche calcolare

$\int $ f(x, y, z) dxdydz con

f(x, y, z) = 1 ; R = {(x, y, z) ∈ R3| x^2+y^2+z^2<=6 e z>= x^2+y^2

sono passato alle coordinate polari tuttavia non riesco ad esplicitare p e z.

di fatti mi risulta che il nuovo dominio (escluso teta che non da problemi) sia : p^2<= z <= rad(6-p^2) ; 0<=p<= rad (z) ;

purtroppo dopodomani ho l'esame e non riesco a capire come affrontare questo genere di esercizi.
avevo pensato di far variare p tra zero e rad(6) ma l'integrale diventa molesto ed il risultato è "strano".
qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi dove sbaglio?

grazie mille in anticipo, mi spiace se la domanda forse vi risulterà banale, ma sono preso dallo sconforto non so più a chi rivolgermi.

[Studente Anonimo]

Volendo essere stringati e senza aiutarsi con una rappresentazione grafica:

1° modo (sistema di disequazioni nella variabile $t$ e parametrico in $\rho$)

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=t):} rarr \{(t^2 lt= 6-\rho^2),(t gt= \rho^2):} rarr \{(t^2 lt= 6-\rho^2),(t^2 gt= \rho^4),(t gt= 0):}$

$\{(6-\rho^2 gt= 0),(\rho^4 lt= 6-\rho^2):} rarr [0 lt= \rho lt= sqrt2] ^^ [\rho^2 lt= t lt= sqrt(6-\rho^2)]$

$[I=\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{sqrt2}\rhod\rho\int_{\rho^2}^{sqrt(6-\rho^2)}dt]$

2° modo (sistema di disequazioni nella variabile $\rho$ e parametrico in $t$)

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=t):} rarr \{(\rho^2 lt= 6-t^2),(\rho^2 lt= t):}$

$\{(6-t^2 gt= 0),(t gt= 0),(t lt= 6-t^2):} rarr [0 lt= t lt= 2] ^^ [0 lt= \rho lt= sqrtt]$

$\{(6-t^2 gt= 0),(t gt= 0),(6-t^2 lt= t):} rarr [2 lt= t lt= sqrt6] ^^ [0 lt= \rho lt= sqrt(6-t^2)]$

$[I=\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{2}dt\int_{0}^{sqrtt}\rhod\rho+\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{2}^{sqrt6}dt\int_{0}^{sqrt(6-t^2)}\rhod\rho]$

Prova a darci un'occhiata. Se hai un po' di dimestichezza con le disequazioni parametriche dovresti venirne a capo. Se ti aiuti con una rappresentazione grafica, il 1° modo è ancora più immediato.

[federicomarzocchi97]

grazie infinite per la risposta quasi immediata!
effettivamente integrando così viene il risultato che è presente anche sulla scheda.
Tuttavia non riesco a seguire i passaggi che ha fatto, non vorrei approfittare della sua cortesia ma non è che per caso riuscirebbe a spiegarmi, anche in maniera sbrigativa, come è arrivato a trovare gli estremi di integrazione (ad esempio anche soltanto nel 1° modo ).
spero di non portare via troppo tempo, grazie mille di nuovo della risposta e buona serata!

[Studente Anonimo]

Dopo aver effettuato il cambiamento di variabili:

$\{(x^2+y^2+z^2 lt= 6),(z gt= x^2+y^2):} ^^ \{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=t):} rarr \{(\rho^2+t^2 lt= 6),(t gt= \rho^2):}$

Quindi, per determinare gli estremi di integrazione in coordinate cilindriche, è necessario risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\{(\rho^2+t^2 lt= 6),(t gt= \rho^2):}$

Intanto, poiché il sistema non impone alcuna condizione su $\phi$:

$[0 lt= \phi lt 2\pi]$

A questo punto, si può procedere in due modi:

1° modo: sistema di disequazioni nella variabile $t$ e parametrico in $\rho$. Ossia, per ogni $\rho$ risolvere in $t$, avendo cura di determinare per quali valori di $\rho$ il sistema ammette soluzioni.

2° modo: sistema di disequazioni nella variabile $\rho$ e parametrico in $t$. Ossia, per ogni $t$ risolvere in $\rho$, avendo cura di determinare per quali valori di $t$ il sistema ammette soluzioni.

Se si decide di procedere utilizzando il 1° modo, conviene scrivere il sistema così:

$\{(t^2 lt= 6-\rho^2),(t gt= \rho^2):}$

Proprio in questa fase è necessaria la dimestichezza di cui parlavo nel mio messaggio precedente. Per esempio, affinché la prima disequazione possa ammettere soluzioni in $t$, ricordando che $[\rho gt= 0]$, deve essere:

$[6-\rho^2 gt= 0] rarr [0 lt= \rho lt= sqrt6]$

Quindi:

$[0 lt= \rho lt= sqrt6] ^^ \{(-sqrt(6-\rho^2) lt= t lt= sqrt(6-\rho^2)),(t gt= \rho^2):}$

Tuttavia, poiché la seconda disequazione impone che $[t gt= 0]$:

$[0 lt= \rho lt= sqrt6] ^^ [\rho^2 lt= t lt= sqrt(6-\rho^2)]$

a patto che $[\rho^2 lt= sqrt(6-\rho^2)]$, altrimenti il sistema non ammette soluzioni in $t$:

$[\rho^2 lt= sqrt(6-\rho^2)] rarr [\rho^4 lt= 6-\rho^2] rarr [\rho^4+\rho^2-6 lt= 0] rarr [(\rho^2+3)(\rho^2-2) lt= 0] rarr [0 lt= \rho lt= sqrt2]$

Finalmente, poiché il sistema ammette soluzioni in $t$ a patto che siano soddisfatte entrambe le seguenti condizioni in $\rho$:

$\{(0 lt= \rho lt= sqrt6),(0 lt= \rho lt= sqrt2):} rarr [0 lt= \rho lt= sqrt2]$

si può concludere che:

$[0 lt= \rho lt= sqrt2] ^^ [\rho^2 lt= t lt= sqrt(6-\rho^2)] rarr [I=\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{sqrt2}\rhod\rho\int_{\rho^2}^{sqrt(6-\rho^2)}dt]$

Nel mio messaggio precedente avevo deciso di approcciare il sistema diversamente:

$\{(t^2 lt= 6-\rho^2),(t gt= \rho^2):} rarr \{(t^2 lt= 6-\rho^2),(t^2 gt= \rho^4),(t gt= 0):}$

Anche se non sto a giustificare i passaggi successivi, si devono ottenere i medesimi risultati. In ogni caso, poiché il metodo puramente algebrico è piuttosto laborioso e richiede una notevole dose di attenzione, per ricavare gli estremi di integrazione in modo più naturale può essere conveniente aiutarsi con una rappresentazione grafica, quella che spesso si utilizza negli integrali doppi per intenderci. Si tratta di rappresentare nel piano $(\rho,t)$ il seguente sistema:

$\{(t^2 lt= 6-\rho^2),(t gt= \rho^2),(\rho gt= 0):}$

tracciando una circonferenza e una parabola. Credo che tu conosca la tecnica di cui sto parlando.

[federicomarzocchi97]

grazie infinite della spiegazione.
purtroppo con il nostro professore non abbiamo mai affrontato esercizi simili, solitamente gli estremi di integrazione si ricavano in maniera immediata una volta sostituito il dominio, per questo ho chiesto il procedimento senza l'utilizzo di grafici (che non abbiamo mai fatto).
suppongo che il piano pt sia quello polare, tuttavia non ho idea di come rappresentare su di esso qualcosa.
grazie di nuovo della spiegazione esaustiva che mi ha fornito!
Buona giornata