Integrale triplo con coordinate cilindriche
Sto tentando di risolvere un integrale triplo, e il risultato mi viene diverso per un fattore $2$ (cioè il mio risultato è la metà di quello giusto).
L'integrale è questo $ int int int_(A)^()z\ dx\ dy\ dz $ con $A$ nel primo ottante, limatata dal piano $y=3x$ e dal cilindro $y^2+z^2=9$.
Passando a coordinate cilindriche, la $x$ varia tra $0$ e $y/3$, mentre sul piano $yOz$ si applica il cambiamento di variabili e quindi
$y=rcostheta$, $z=rsintheta$
per cui, essendo nel primo ottante, $theta$ varia così $theta in [0,pi/2]$. Il raggio del cilindro è $3$ e dovrebbe essere $r in [0,3]$.
Quindi in definitiva $ int_(0)^(3)( int_(0)^(pi/2)( int_(0)^((rcostheta)/3) rsintheta rdx\ )\d theta ) dr $ e viene $27/8$
Il problema è che il risultato è $27/4$!!
Voi vedete qualche errore?
L'integrale è questo $ int int int_(A)^()z\ dx\ dy\ dz $ con $A$ nel primo ottante, limatata dal piano $y=3x$ e dal cilindro $y^2+z^2=9$.
Passando a coordinate cilindriche, la $x$ varia tra $0$ e $y/3$, mentre sul piano $yOz$ si applica il cambiamento di variabili e quindi
$y=rcostheta$, $z=rsintheta$
per cui, essendo nel primo ottante, $theta$ varia così $theta in [0,pi/2]$. Il raggio del cilindro è $3$ e dovrebbe essere $r in [0,3]$.
Quindi in definitiva $ int_(0)^(3)( int_(0)^(pi/2)( int_(0)^((rcostheta)/3) rsintheta rdx\ )\d theta ) dr $ e viene $27/8$
Il problema è che il risultato è $27/4$!!
Voi vedete qualche errore?
Risposte
Mi sembra tutto corretto ... non riesco a capire dove stia lo sbaglio ...
come mai ti "appare" un $ dx $ nel calcolo finale?
"Luc@s":
come mai ti "appare" un $ dx $ nel calcolo finale?
Il $dx$ l'ho messo per la variazione rispetto all'asse $x$ tra $y/3$, che diventa $(rcostheta)/3$, e $0$.
@Luc@s: pier ha preso le coordinate cilindriche rispetto all'asse [tex]$x$[/tex], ossia:
[tex]$\begin{cases} x=h \\ y=r\ \cos \theta \\ z=r\ \sin \theta \end{cases}$[/tex],
sicché al posto di usare la nuova variabile [tex]$h$[/tex] ha usato direttamente [tex]$x$[/tex].
@pier.armeli: Mi pare tutto giusto.
[tex]$\begin{cases} x=h \\ y=r\ \cos \theta \\ z=r\ \sin \theta \end{cases}$[/tex],
sicché al posto di usare la nuova variabile [tex]$h$[/tex] ha usato direttamente [tex]$x$[/tex].
@pier.armeli: Mi pare tutto giusto.
Si, gugo82, hai perfettamente ragione sulle coordinate che ho applicato.
Però, anche se pure a me sembra tutto giusto, sul libro dà un risultato diverso, che si ottiene integrando per strati.
Usa $0<=z<=3$ come estremi dell'integrale più esterno, poi lungo $y$ la funzione varia come $0<=y<=sqrt(9-z^2)$ e lungo $x$ varia come $0<=x<=y/3$ ovvero $0<=x<=sqrt(9-z^2)/3$
Risolvendo in questo modo viene $27/4$.
Il procedimento per strati è chiaro. Non capisco perché se si usano le coordinate cilindriche viene $27/8$ ...
Però, anche se pure a me sembra tutto giusto, sul libro dà un risultato diverso, che si ottiene integrando per strati.
Usa $0<=z<=3$ come estremi dell'integrale più esterno, poi lungo $y$ la funzione varia come $0<=y<=sqrt(9-z^2)$ e lungo $x$ varia come $0<=x<=y/3$ ovvero $0<=x<=sqrt(9-z^2)/3$
Risolvendo in questo modo viene $27/4$.
Il procedimento per strati è chiaro. Non capisco perché se si usano le coordinate cilindriche viene $27/8$ ...
Buonasera,
Ho dato un'occhiata al tuo problema e non ho trovato problemi nel tuo procedere.
A giudicare dalla tua soluzione e dalla funzione integranda, se ci dovesse essere un'imperfezione, dovrebbe essere causata dall'angolo che stai considerando per l'integrazione della base del cilindro. ma comunque questa e' solo una supposizione
.
In ogni caso, ho analizzato il tuo problema ma non mi e' ben chiaro il tuo Dominio: quando dici che si trova nel primo ottante, intendi dire che dobbiamo considerare anche le limitazioni $x>=0,y>=0,z>=0$ ?
In caso positivo: Ho sbagliato io a intenderlo ^^".
altrimenti, l'ho risolto come segue:
$D={(x,y,z)inRR^3: y^2+z^2=9 , 0
Seguendo i tuoi passi, ho anche io utilizzato le coordinate cilindriche:
${(x=f(y,z)=y/3=rhocostheta/3),(y=rhocostheta),(z=rhosintheta):}$ con ${(rhoin[0,3]),(thetain[0,pi]),(x in[0,(rhocostheta)/3]):}$
Quindi calcolo l'integrale:
$intintint_D z dx dy dz = int_0^3rho^2 drho int_0^(pi)2sintheta d theta int_0^((rhocostheta)/3)dx = 2/3int_0^3rho^3 drho int_0^(pi)costhetasintheta d theta = 2/3 * 1/4[rho]_0^3 *[sin^2theta]_0^pi = 27/4
Nota: come si puo' vedere, ho scelto $theta in [0,pi]$ per non perdere il contributo del $sin^2x$ alla fine. Cio' facendo ho "tagliato" a meta' la base del cilindro, e per questo ho dovuto moltiplicare per due l'integrale relativo al suo contributo. Tutto questo dovrebbe essere possibile sicche' stiamo utilizzando le coordinate cilindriche. Spero che questo mio ragionamento sia corretto, perche' ammetto che sono andato un po' "a intuito".
Salvo miei possibili errori, spero di essere stato d'aiuto.
Ho dato un'occhiata al tuo problema e non ho trovato problemi nel tuo procedere.
A giudicare dalla tua soluzione e dalla funzione integranda, se ci dovesse essere un'imperfezione, dovrebbe essere causata dall'angolo che stai considerando per l'integrazione della base del cilindro. ma comunque questa e' solo una supposizione
.In ogni caso, ho analizzato il tuo problema ma non mi e' ben chiaro il tuo Dominio: quando dici che si trova nel primo ottante, intendi dire che dobbiamo considerare anche le limitazioni $x>=0,y>=0,z>=0$ ?
In caso positivo: Ho sbagliato io a intenderlo ^^".
altrimenti, l'ho risolto come segue:
$D={(x,y,z)inRR^3: y^2+z^2=9 , 0
Seguendo i tuoi passi, ho anche io utilizzato le coordinate cilindriche:
${(x=f(y,z)=y/3=rhocostheta/3),(y=rhocostheta),(z=rhosintheta):}$ con ${(rhoin[0,3]),(thetain[0,pi]),(x in[0,(rhocostheta)/3]):}$
Quindi calcolo l'integrale:
$intintint_D z dx dy dz = int_0^3rho^2 drho int_0^(pi)2sintheta d theta int_0^((rhocostheta)/3)dx = 2/3int_0^3rho^3 drho int_0^(pi)costhetasintheta d theta = 2/3 * 1/4[rho]_0^3 *[sin^2theta]_0^pi = 27/4
Nota: come si puo' vedere, ho scelto $theta in [0,pi]$ per non perdere il contributo del $sin^2x$ alla fine. Cio' facendo ho "tagliato" a meta' la base del cilindro, e per questo ho dovuto moltiplicare per due l'integrale relativo al suo contributo. Tutto questo dovrebbe essere possibile sicche' stiamo utilizzando le coordinate cilindriche. Spero che questo mio ragionamento sia corretto, perche' ammetto che sono andato un po' "a intuito"
.Salvo miei possibili errori, spero di essere stato d'aiuto.
Sicuramente il tuo contributo mi è stato d'aiuto!
Però parlando di primo ottante, purtroppo intendevo con le limitazioni $x>=0,y>=0,z>=0$ (lo posso anche verificare perché sul libro non ci sono esplicitamente scritte, però c'è, nella soluzione (fatta per strati), il disegno del solido, che è disegnato solo nella parte positiva di ogni asse).
E' strano che comunque venga $27/4$.
Spero che tu possa trovare il tempo di riguardarlo, facendo, se necessaria, l'opportuna correzione.
Volevo chiedere una cosa: alla fine, scrivi $ 2/3 * 1/4[rho]_0^3 *[sin^2theta]_0^pi$. La valutazione $[sin^2theta]_0^pi$ non dovrebbe avere come risultato $(sinpi)^2-(sin0)^2=0-0=0$?
Però parlando di primo ottante, purtroppo intendevo con le limitazioni $x>=0,y>=0,z>=0$ (lo posso anche verificare perché sul libro non ci sono esplicitamente scritte, però c'è, nella soluzione (fatta per strati), il disegno del solido, che è disegnato solo nella parte positiva di ogni asse).
E' strano che comunque venga $27/4$.
Spero che tu possa trovare il tempo di riguardarlo, facendo, se necessaria, l'opportuna correzione.
Volevo chiedere una cosa: alla fine, scrivi $ 2/3 * 1/4[rho]_0^3 *[sin^2theta]_0^pi$. La valutazione $[sin^2theta]_0^pi$ non dovrebbe avere come risultato $(sinpi)^2-(sin0)^2=0-0=0$?
"pier.armeli":
Sicuramente il tuo contributo mi è stato d'aiuto!
Però parlando di primo ottante, purtroppo intendevo con le limitazioni $x>=0,y>=0,z>=0$ (lo posso anche verificare perché sul libro non ci sono esplicitamente scritte, però c'è, nella soluzione (fatta per strati), il disegno del solido, che è disegnato solo nella parte positiva di ogni asse).
E' strano che comunque venga $27/4$.
Spero che tu possa trovare il tempo di riguardarlo, facendo, se necessaria, l'opportuna correzione.
Volevo chiedere una cosa: alla fine, scrivi $ 2/3 * 1/4[rho]_0^3 *[sin^2theta]_0^pi$. La valutazione $[sin^2theta]_0^pi$ non dovrebbe avere come risultato $(sinpi)^2-(sin0)^2=0-0=0$?
Hai proprio Ragione, Ho commesso un erroraccio ^^".
In ogni caso, abbandonando il mio tentativo precedente, ho riprovato a risolvere l'esercizio seguendo questa volta il dominio piu' preciso, e devo confessarti che non sono riuscito a trovare "l'inghippo" arrivando sempre agli stessi tuoi risultati.
Va bene. Grazie comunque. Spero che qualcuno magari possa avventurarsi in questa strana faccenda e capire dove sta il problema!!
C'è nessuno che abbia qualche idea?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo