Integrale triplo con coordinate cilindriche

[alice_m]

Salve a tutti , ho sottomano un integrale triplo con valore assoluto. Sono riuscita a risolverlo con coordinate sferiche, ma vorrei sapere se e' possibile risolverlo anche con coordinate cilindriche, ho l'impressione che forse mi semplificherei lo svolgimento.. mi date un parere? Eccolo qui.

$\int int int_D |z| dxdydz$, con $D= {(x,y,z) : x^2+y^2+z^2<=1, x>=0 , y>=0}$

Passando a coordinate cilindriche avrei:

$\{ (x=\rhocos\theta), (y=\rhosen\theta), (z=z):}$

E sostituendo:
$\int int int_T |z| d\rhod\thetadz$

[kamal19]

l'insieme $D$ può essere scritto come $D=D_1 \cup D_2$ dove $D_1={(x,y,z): 0 \leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}, x \geq 0, y \geq 0}$
$D_2={(x,y,z): - \sqrt{1-x^2-y^2} \leq z <0, x \geq 0, y \geq 0}$ $D_1$ e $D_2$ sono disgiunti quindi $I=\int int int_D |z| dxdydz=\int int int_{D_1} z dxdydz-\int int int_{D_2} z dxdydz$.
Ponendo $z=-u$ si dimostra facilmente che che $\int int int_{D_1} z dxdydz=-\int int int_{D_2} z dxdydz$ cioè$ \int int int_{D} |z| dxdydz=2\int int int_{D_1} z dxdydz$.
Procediamo in coordinate cilindriche.
$\{ (x=\rhocos\theta), (y=\rhosen\theta), (z=z):}$ quindi $D_1$ in coordinate cilindriche $D_1={(\rho,\theta, z): 0 \leq z \leq \sqrt{1-\rho^2}, 0 \leq \rho \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}}$.

$I=\int int int_D |z| dxdydz=2\int int int_{D_1}=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-\rho^2}} z\rhodzd\rho d\theta$.

Arrivando qua è un calcolo ovvio, omettendo qualche passaggio ovio $I=\frac{\pi}{8}$