Integrale triplo complicato
Le ho provate tutte, coordinate cilindriche, sferiche, sostituzione, ma i calcoli sono troppo laboriosi. L' integrale è: $intintint (x+y+z)^2dV
La regione è $2az=x^2+y^2$ e $x^2+y^2+z^2=3a^2$. Magari se avete dei consigli su quale strada utilizzare per renderlo calcolabile vi ringrazio
La regione è $2az=x^2+y^2$ e $x^2+y^2+z^2=3a^2$. Magari se avete dei consigli su quale strada utilizzare per renderlo calcolabile vi ringrazio
Risposte
Che cos'è $a$? Ci sono particolari condizioni su di esso?
Perchè mi sembra che questo esercizio somigli molto a quello di qualche giorno fa. Trovi?
Perchè mi sembra che questo esercizio somigli molto a quello di qualche giorno fa. Trovi?
"Gi8":
Che cos'è $a$? Ci sono particolari condizioni su di esso?
Perchè mi sembra che questo esercizio somigli molto a quello di qualche giorno fa. Trovi?
non mi dice nulla su a. Il problema infatti è anche quello, non capisco se sia positivo o negativo e i calcoli vengono troppo complicati qui con tutte le strade che ho provato
"Gi8":
Che cos'è $a$? Ci sono particolari condizioni su di esso?
Perchè mi sembra che questo esercizio somigli molto a quello di qualche giorno fa. Trovi?
mi correggo, l' integrale lo imposto così, avevo sbagliato i limiti per $r$: $int_0^(2pi)int_0^[sqrt(2)a]int_(r^2/(2a))^sqrt(3a^2-r^2) (r(cos(theta+sin(theta))+z)^2rdzdrd(theta)$. Può andare secondo voi?
purtroppo continua a non tornarmi 
qualcuno può darmi suggerimenti?
mi tocca riuppare antipaticamente ragazzi, spero sempre in qualcuno 
up
up$^2$
up$^3$
up$^4$
Dunque, vediamo. Per prima cosa il segno di $a$ è poco influente: infatti prendere $a$ negativo ti impone solo di considerare il dominio che si trova sotto il piano $xOy$ (in quel caso il paraboloide risulta rivolto verso il basso) e le funzioni sono tutte simmetriche, quindi non hai problemi. prendiamo allora $a>0$: il dominio di integrazione coincide con l'interno della sfera e il paraboloide. Osserva che, banalmente, la variabile $z$ va da $0$ fino a $\sqrt{3} a$. A questo punto userei le coordinate cilindriche: abbiamo [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z[/tex] e le superfici che delimitano la regione risultano [tex]$\rho^2=2az,\ \rho^2+z^2=3a^2,\ 0\le z\le\sqrt{3} a$[/tex].
Per determinare il modo in cui variano i parametri, osserva che possiamo dividere la regione in due parti: una inferiore che è delimitata dal paraboloide in basso e dal piano su cui si trovano le intersezioni delle due figure in alto, una superiore delimitata da questo stesso piano in basso e dalla calotta superiore della sfera in alto. Basta allora intersecare le due superfici per trovare l'equazione di questo piano: [tex]$z^2+2az-3a^2=0$[/tex], le cui soluzioni sono (ricordando che $a>0$) [tex]$z=\frac{-2a\pm 4a}{2}$[/tex] e quindi, dal momento che il piano dovrà trovarsi nella parte positiva dello spazio, [tex]$z=a$[/tex]. Ne segue che possiamo parametrizzare le due regioni seguenti
[tex]$D_1=\{0\le z\le a,\ 0\le\rho\le\sqrt{2az},\ 0\le\theta\le 2\pi\},\qquad D_2=\{a\le z\le \sqrt{3} a,\ 0\le\rho\le\sqrt{3a^2-z^2},\ 0\le\theta\le2\pi\}$[/tex]
pertanto
[tex]$\iiint_D(x+y+z)^2\ dV=\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{2az}}(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta+z)^2 \rho\ d\rho\ dz\ d\theta+
\int_0^{2\pi}\int_a^{\sqrt{3}a}\int_0^{\sqrt{3a^2-z^2}}(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta+z)^2 \rho\ d\rho\ dz\ d\theta$[/tex]
Il resto, per quanto un po' tediosi, sono semplici calcoli.
Per determinare il modo in cui variano i parametri, osserva che possiamo dividere la regione in due parti: una inferiore che è delimitata dal paraboloide in basso e dal piano su cui si trovano le intersezioni delle due figure in alto, una superiore delimitata da questo stesso piano in basso e dalla calotta superiore della sfera in alto. Basta allora intersecare le due superfici per trovare l'equazione di questo piano: [tex]$z^2+2az-3a^2=0$[/tex], le cui soluzioni sono (ricordando che $a>0$) [tex]$z=\frac{-2a\pm 4a}{2}$[/tex] e quindi, dal momento che il piano dovrà trovarsi nella parte positiva dello spazio, [tex]$z=a$[/tex]. Ne segue che possiamo parametrizzare le due regioni seguenti
[tex]$D_1=\{0\le z\le a,\ 0\le\rho\le\sqrt{2az},\ 0\le\theta\le 2\pi\},\qquad D_2=\{a\le z\le \sqrt{3} a,\ 0\le\rho\le\sqrt{3a^2-z^2},\ 0\le\theta\le2\pi\}$[/tex]
pertanto
[tex]$\iiint_D(x+y+z)^2\ dV=\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{2az}}(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta+z)^2 \rho\ d\rho\ dz\ d\theta+
\int_0^{2\pi}\int_a^{\sqrt{3}a}\int_0^{\sqrt{3a^2-z^2}}(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta+z)^2 \rho\ d\rho\ dz\ d\theta$[/tex]
Il resto, per quanto un po' tediosi, sono semplici calcoli.
"ciampax":
Dunque, vediamo. Per prima cosa il segno di $a$ è poco influente: infatti prendere $a$ negativo ti impone solo di considerare il dominio che si trova sotto il piano $xOy$ (in quel caso il paraboloide risulta rivolto verso il basso) e le funzioni sono tutte simmetriche, quindi non hai problemi. prendiamo allora $a>0$: il dominio di integrazione coincide con l'interno della sfera e il paraboloide. Osserva che, banalmente, la variabile $z$ va da $0$ fino a $\sqrt{3} a$. A questo punto userei le coordinate cilindriche: abbiamo [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z[/tex] e le superfici che delimitano la regione risultano [tex]$\rho^2=2az,\ \rho^2+z^2=3a^2,\ 0\le z\le\sqrt{3} a$[/tex].
Per determinare il modo in cui variano i parametri, osserva che possiamo dividere la regione in due parti: una inferiore che è delimitata dal paraboloide in basso e dal piano su cui si trovano le intersezioni delle due figure in alto, una superiore delimitata da questo stesso piano in basso e dalla calotta superiore della sfera in alto. Basta allora intersecare le due superfici per trovare l'equazione di questo piano: [tex]$z^2+2az-3a^2=0$[/tex], le cui soluzioni sono (ricordando che $a>0$) [tex]$z=\frac{-2a\pm 4a}{2}$[/tex] e quindi, dal momento che il piano dovrà trovarsi nella parte positiva dello spazio, [tex]$z=a$[/tex]. Ne segue che possiamo parametrizzare le due regioni seguenti
[tex]$D_1=\{0\le z\le a,\ 0\le\rho\le\sqrt{2az},\ 0\le\theta\le 2\pi\},\qquad D_2=\{a\le z\le \sqrt{3} a,\ 0\le\rho\le\sqrt{3a^2-z^2},\ 0\le\theta\le2\pi\}$[/tex]
pertanto
[tex]$\iiint_D(x+y+z)^2\ dV=\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{2az}}(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta+z)^2 \rho\ d\rho\ dz\ d\theta+
\int_0^{2\pi}\int_a^{\sqrt{3}a}\int_0^{\sqrt{3a^2-z^2}}(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta+z)^2 \rho\ d\rho\ dz\ d\theta$[/tex]
Il resto, per quanto un po' tediosi, sono semplici calcoli.
grazie mille ciampax!!! mi hai davvero illuminato, l' hai fatto sembrare molto facile, grazie mille
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