Integrale triplo come procedere?
Salve a tutti.
Ho questo esercizio:
Calcolare il seguente integrale: $int_T x/(y*(y^(1/2)))*log(1+z^2/y^2) dxdydz$
essendo
$T ={(x,y,z) in R^3: 1<=x<=2; 2x<=y<=3x;-y<=z<=y}$
Procedo normalmente, oppure mi può essere d'aiuto qualche cambiamento di variabile, che ho affrontato negli integrali doppi e di cui non ho trovato esempi su esercizi su integrali tripli. Nel senso che il libro spiega che si possono fare cambiamenti di variabili ma non da alcun esempio.
Grazie
Emanuele
Ho questo esercizio:
Calcolare il seguente integrale: $int_T x/(y*(y^(1/2)))*log(1+z^2/y^2) dxdydz$
essendo
$T ={(x,y,z) in R^3: 1<=x<=2; 2x<=y<=3x;-y<=z<=y}$
Procedo normalmente, oppure mi può essere d'aiuto qualche cambiamento di variabile, che ho affrontato negli integrali doppi e di cui non ho trovato esempi su esercizi su integrali tripli. Nel senso che il libro spiega che si possono fare cambiamenti di variabili ma non da alcun esempio.
Grazie
Emanuele
Risposte
Non c'è bisogno di effettuare alcuna sostituzione di variabile, o almeno, si può benissimo fare senza.
"Quinzio":
Non c'è bisogno di effettuare alcuna sostituzione di variabile, o almeno, si può benissimo fare senza.
Ho pensato di risolverlo senza passare per sostituzioni, anche perchè l'insieme $T$ mi sembra non finito.
Detto questo ho cominciato a risolvere il primo integrale in $dz$, e quindi $int_-y^y log(1+z^2/y^2) dz$ che ho splittato nel seguente modo $int_-y^y log(y^2 + z^2) dz$ $-int_-y^y log(y^2)dz$. la primitiva di questi due integrali mi viene
$zlog(1+z^2/y^2) -2z+2zatan(z/y)$ che integrata tra $-y,y$ dà $2ylog(2) -4y +y\pi$
Sembrerebbe corretto ma sapete vorrei qualche altro giudizio
Grazie
Emanuele
Non credo ci sia il termine $y\pi$, per il resto è corretto. Infatti
$z\arctan(z/y)|_{-y}^y=y\arctan(1)+y\arctan(-1)=y \pi/4-y\ \pi/4=0$
$z\arctan(z/y)|_{-y}^y=y\arctan(1)+y\arctan(-1)=y \pi/4-y\ \pi/4=0$
Chiaramente grazie.
nell'ultimo punto mi viene $y\pi$ in quanto si dovrebbe fare $-(-y)$
emanuele
nell'ultimo punto mi viene $y\pi$ in quanto si dovrebbe fare $-(-y)$
emanuele
Ti ho scritto quanto viene e perché: riflettici su... $y\pi$ non c'è!
"ciampax":
Ti ho scritto quanto viene e perché: riflettici su... $y\pi$ non c'è!
Ragione hai
Dimenticavo che il $-y$ dovevo sostituirlo due volte in quanto ho $zatan(z/y)$ e quindi viene $- y*\pi/4$Consigli per evitare questi errori di concentrazione?
Questo forum per me è importante visto che sono uno studente lavoratore.
Grazie ancora
Emanuele
Achtung ! Attenzione !
L'errore viene da ancora prima (ma non è un errore.....).
$-2z +2\ z\ \arctan(z/y) $ viene dall'integrale $-\int (2z^2)/(z^2+y^2)\ dz$
Però :
$-\int (2z^2)/(z^2+y^2) = -2\int (1-(y^2)/(z^2+y^2))\ dz = -2\int (1-(1)/(1+(z^2)/(y^2)))\ dz = -2z + 2\ y\ arctan(z/y)$
Da cui: $-4y + y \pi $
Morale: c'è una ypsilon al posto della zeta. E' stato probabilmente un errore di "copiatura", ma il risultato finale era corretto.
L'errore viene da ancora prima (ma non è un errore.....).
$-2z +2\ z\ \arctan(z/y) $ viene dall'integrale $-\int (2z^2)/(z^2+y^2)\ dz$
Però :
$-\int (2z^2)/(z^2+y^2) = -2\int (1-(y^2)/(z^2+y^2))\ dz = -2\int (1-(1)/(1+(z^2)/(y^2)))\ dz = -2z + 2\ y\ arctan(z/y)$
Da cui: $-4y + y \pi $
Morale: c'è una ypsilon al posto della zeta. E' stato probabilmente un errore di "copiatura", ma il risultato finale era corretto.
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