Integrale triplo calcolo volume
Salve sto trovando difficoltà con questo problema:
Nello spazio $(x,y,z)$ si consideri il solido V ottenuto dal triangolo di vertici $(0,0,0)$ , $(0,1,1)$ e $(0,1,a)$, con $a>1$ per rotazione attorno all'asse z. Determinare $a>1$ in modo che il volume V sia uguale a $3$.
Io avevo pensato essendo $y< z < a$ di calcolare l'integrale triplo $ int int ( int_(y)^(a) dz) dx dy $ così da ridurlo ad un integrale doppio $2 int (int_(0)^(root(2)(1-(x)^(2) ) ) a - y dy ) dx $ considerando il dominio dell'integrale doppio $ (y)^(2)+ (x)^ (2) <= 1 $ e considerando solo $ y \geq 0 $ e infine integrando su $x$ tra $-1$ e $1$ : $ 2 int_(-1)^(1)( asqrt(1-x^2) - (1 - x^2)/2)dx $ .
il procedimento è giusto?
Nello spazio $(x,y,z)$ si consideri il solido V ottenuto dal triangolo di vertici $(0,0,0)$ , $(0,1,1)$ e $(0,1,a)$, con $a>1$ per rotazione attorno all'asse z. Determinare $a>1$ in modo che il volume V sia uguale a $3$.
Io avevo pensato essendo $y< z < a$ di calcolare l'integrale triplo $ int int ( int_(y)^(a) dz) dx dy $ così da ridurlo ad un integrale doppio $2 int (int_(0)^(root(2)(1-(x)^(2) ) ) a - y dy ) dx $ considerando il dominio dell'integrale doppio $ (y)^(2)+ (x)^ (2) <= 1 $ e considerando solo $ y \geq 0 $ e infine integrando su $x$ tra $-1$ e $1$ : $ 2 int_(-1)^(1)( asqrt(1-x^2) - (1 - x^2)/2)dx $ .
il procedimento è giusto?
Risposte
io farei così, il tuo a occhio non mi pare corretto ma ora non ho tempo per vedere meglio:
$ int int_Omega dy dz = 3/(2pi) $
con $Omega = {z/a < y < z $ se $ 0 < z < 1$, $ z/a < y < 1$ se $1 < z < a}
$ int int_Omega dy dz = 3/(2pi) $
con $Omega = {z/a < y < z $ se $ 0 < z < 1$, $ z/a < y < 1$ se $1 < z < a}
Scusa forse sto per dire una castroneria (perdonami se sarà così) ma il tuo integrale doppio con integrando $1$ non esprime un area anziché un volume?
Cmq ho avuto una svista nel mio procedimento.. $z$ è compresa tra $ y<= z <= ay $ cosicchè viene $ int int (int_(y)^(ay) dz) dy dx $ .
Il tuo triangolo è dato da $T={(y,z) \in RR^2 | 0 <= y <= 1, y<=z <= ay}$.
Per il Teorema di Guldino il volume del solido di rotazione è ottenuto moltiplicando l'area di $T$ per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro.
Essendo la rotazione attorno all'asse z, il calcolo si riduce al seguente integrale: $2 \pi \int \int _T y "dy" "dz" = 2/3 \pi (a-1)$.
Per il Teorema di Guldino il volume del solido di rotazione è ottenuto moltiplicando l'area di $T$ per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro.
Essendo la rotazione attorno all'asse z, il calcolo si riduce al seguente integrale: $2 \pi \int \int _T y "dy" "dz" = 2/3 \pi (a-1)$.
scusate, ma a me pare che sbagliate entrambi: nel tratto in cui y resta costante, la z non si può esprimere come funzione di y, almenochè non stiate facendo un'inversione degli assi (cioè l'asse di rotazione è y), in tal caso dovrei pensarci su un attimo
Scusami, ma non riesco a capire la tua perplessità. In che senso, nel tratto in cui y rimane costante,...?
niente, ho sparato io una cavolata mentre pensavo ad altro. si può fare più semplicemente come hai proposto tu, sennò col mio si fanno due integrali anzichè uno
Ah, ok.
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