Integrale triplo calcolo volume

kaia88
Salve sto trovando difficoltà con questo problema:

Nello spazio $(x,y,z)$ si consideri il solido V ottenuto dal triangolo di vertici $(0,0,0)$ , $(0,1,1)$ e $(0,1,a)$, con $a>1$ per rotazione attorno all'asse z. Determinare $a>1$ in modo che il volume V sia uguale a $3$.

Io avevo pensato essendo $y< z < a$ di calcolare l'integrale triplo $ int int ( int_(y)^(a) dz) dx dy $ così da ridurlo ad un integrale doppio $2 int (int_(0)^(root(2)(1-(x)^(2) ) ) a - y dy ) dx $ considerando il dominio dell'integrale doppio $ (y)^(2)+ (x)^ (2) <= 1 $ e considerando solo $ y \geq 0 $ e infine integrando su $x$ tra $-1$ e $1$ : $ 2 int_(-1)^(1)( asqrt(1-x^2) - (1 - x^2)/2)dx $ .

il procedimento è giusto?

Risposte
enr87
io farei così, il tuo a occhio non mi pare corretto ma ora non ho tempo per vedere meglio:

$ int int_Omega dy dz = 3/(2pi) $

con $Omega = {z/a < y < z $ se $ 0 < z < 1$, $ z/a < y < 1$ se $1 < z < a}

kaia88
Scusa forse sto per dire una castroneria (perdonami se sarà così) ma il tuo integrale doppio con integrando $1$ non esprime un area anziché un volume?

kaia88
Cmq ho avuto una svista nel mio procedimento.. $z$ è compresa tra $ y<= z <= ay $ cosicchè viene $ int int (int_(y)^(ay) dz) dy dx $ .

Antimius
Il tuo triangolo è dato da $T={(y,z) \in RR^2 | 0 <= y <= 1, y<=z <= ay}$.
Per il Teorema di Guldino il volume del solido di rotazione è ottenuto moltiplicando l'area di $T$ per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro.
Essendo la rotazione attorno all'asse z, il calcolo si riduce al seguente integrale: $2 \pi \int \int _T y "dy" "dz" = 2/3 \pi (a-1)$.

enr87
scusate, ma a me pare che sbagliate entrambi: nel tratto in cui y resta costante, la z non si può esprimere come funzione di y, almenochè non stiate facendo un'inversione degli assi (cioè l'asse di rotazione è y), in tal caso dovrei pensarci su un attimo

Antimius
Scusami, ma non riesco a capire la tua perplessità. In che senso, nel tratto in cui y rimane costante,...?

enr87
niente, ho sparato io una cavolata mentre pensavo ad altro. si può fare più semplicemente come hai proposto tu, sennò col mio si fanno due integrali anzichè uno

Antimius
Ah, ok.

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