Integrale triplo

[Primavera2]

Facendo alcuni esercizi in preparazione di analisi II ho cercato di fare questo integrale triplo di cui però non ho la soluzione:

$ int int int_(V)dx dy dz/(x^2+y^2+z^2) $ con $ V=x^2+y^2+4z^2<=1 $

Allora la prima cosa che ho fatto è stata impostare le coordinate cilindriche $ { ( x=pcos(θ) ),(y=p(sin(θ))),(z=z):} $

E quindi ho ottenuto essendo $ z<=(sqrt(1-x^2-y^2))/2 $

$ int_(0)^(2pi)dθ int_(0)^(1)dp int_(0)^((sqrt(1-p^2))/2 ) p/(p^2+z^2)dz $


$ int_(0)^(2pi)dθ int_(0)^(1)pdp int_(0)^((sqrt(1-p^2))/2 )1/(p^2+z^2)dz $

$ 2pi int_(0)^(1)p (arctan((1-p^2)/2p ))/p dp $ ed infine

$ 2pi int_(0)^(1) arctan((1-p^2)/2p ) dp $ che dovrebbe essere uguale se nn ho sbagliato i conti essendo la primitiva uguale a $ (1-p^2)/2arctan((1-p)/2)-1/2log(1+(1-p^2)) $ dovrei ottenere

$ 2pi (1/2arctan(1/2)-1/2log(3/2)) $


Non avendo il risultato volevo sapere se il procedimento ed i calcoli erano giusti visto che il risultato finale mi puzza un pò...Grazie a tutti in anticipo

[Primavera2]

nessuno che può dare un occhiata ai conti?

[Giuly191]

Ho provato a fare velocemente a modo mio e non mi torna il risultato, io ti consiglio di provare in sferiche, i conti si semplificano un po' di più e se non li ho sbagliati io alla fine si tratta di integrare $ 2pi int_(-1)^(1) 1/sqrt(1+3t^2) dt $, che non è così brutta come cosa.

[Primavera2]

Grazie! scusami la svista della radice hai ragione l'ho persa per strada per il resto ho capito tutto ed ho provato a svolgere l'integrale per parti ma credo sia uscito lungo una pagina quasi xD. Per giuly invece ho provato con le coordinate sferiche
$ { ( x=rhosinphicostheta ),(y=rhosinphisintheta),(z=(2rho)sinphi ):} $
ed ho ottenuto:

$ 2pi int_(0)^(pi)d(phi) int_(0)^(1) 1/(rho^2(3cos^2(phi)+1))drho $

quindi poi:

$ 2pi int_(0)^(pi)1/(3cos^2(phi)+1)d(phi) (-1/(rho))_(0)^(1) $

Però credo di aver sbagliato gli estremi? Oppure il procedimento è corretto?

[Giuly191]

"TeM":

@Giuly19 : ricordati che \rho è definito non negativo !
Apportata tale correzione il risultato torna

Che c'entra il raggio? A quell'integrale in t ci sono arrivato facendo un cambio di variabile sull'angolo azimutale delle sferiche ($cos(theta) = t$ da cui se $theta in [0,pi]$ allora $-t in [-1,1]$), quindi direi che il risultato dovrebbe tornare lo stesso.

@Primavera: Quelle non sono sferiche ma ellittiche; io ho cercato di semplificare il più possibile l'integranda usando le sferiche, a scapito degli estremi di integrazione che andavano un attimo sistemati, tu così hai fatto il contrario.
Ma si dovrebbe riuscire a venirne fuori in entrambi i modi.

[Primavera2]

Scusa puoi scrivere per favore le coordinate che hai usato?

[ithilion6]

hai sbagliato la z.... è p/2 sin(phi)!!!

[Giuly191]

"Primavera":Scusa puoi scrivere per favore le coordinate che hai usato?

Quelle che hai usato tu, ma con $z=rho cos(theta)$.

[ithilion6]

non so come si chiamino, è l'estensione delle cordinate polari su oggetti ellittici... l'idea è come nella sfera unitari di far variare il raggio p tra [1,0], ciò accade se: x=p*cos(t)*cos(f) y=p*sin(t)*cos(f) z=(p/2)sin(f) (si possono intercambiare abbastanza liberamente i seni e coseni per ragioni di simmetria....cmq fai unasostituzione e convincti della cosa!!!! p.s. notare che (x^2)/(a^2) +( y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2)=r^2 x=a*r*cos.... y=b*r.... z=c*r....(nel tuo caso r=1 e c=1/2)
mi spiace che non te scrivo il latex ma adesso non ho proprio sbatta di cimentarmi!!!

[gio73]

"ithilion6":
mi spiace che non te scrivo il latex ma adesso non ho proprio sbatta di cimentarmi!!!

Per l'italiano però ti prego di fare uno sforzo...

[ithilion6]

slang brugherese!!!!