Integrale Triplo?

[nunziox]

$int int int_T (x^2/(1+z^2))dxdydz$

$T={(xyz)inR^3:x^2+y^2<=z^2+1,|z|<=1}$

non riesco a trovare gli estremi di integrazione... ho molte difficoltà.

[vict85]

\(\displaystyle x^2 + y^2 - z^2 \le 1 \) è una quadrico (unita al suo interno); in particolare è un iperboloide ad una falda unita al suo interno. Dopo di che devi applicare \(\displaystyle |z|\le 1 \).

Ti conviene prendere dimestichezza con questi oggetti matematici.

http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica
http://it.wikipedia.org/wiki/Iperboloide

Per gli estremi di integrazione... \(\displaystyle -1\le z \le 1 \) per la \(\displaystyle z \) e l'altra condizione non assomiglia un po' ad una cosa del tipo \(\displaystyle x^2+y^2 \le r^2 \)... Che oggetto è?

[nunziox]

Ho pensato di integrare per sezione

$int_(-1)^(1) 1/(z^2+1)(intint_k x^2 dxdy)dz$

risolvendo prima

$(intint_k x^2 dxdy)dz$

con $k={x^2+y^2<=z^2+1}$

mediante coordinate polari, quindi risolvendo:

$int_(0)^sqrt(z^2+1) rho^3 drho * int_(0)^(2pi) cos^2(theta)*d theta=1/4(z^2+1)^2*pi$

poi il tutto va integrato tra:

$1/4piint_(-1)^(1) (z^2+1)dz=2/3pi$

pensate sia giusto?

[nunziox]

nessun aiuto?

[ciampax]

E' corretto: avresti potuto direttamente usare coordinate cilindriche fin dall'inizio in modo da avere l'integrale esteso al dominio

$K=\{\rho^2\le z^2+1,\ -1\le z\le 1,\ \theta\in[0,2\pi]\}$

Che è poi l'integrale che calcoli.