Integrale triplo

[Sirio1988]

Salve a tutti,
vorrei proporvi un esercizio che non riesco a svolgere:

$int int int_{C} root(3)(x^2+y^2)dxdydz$

dove C è il cono di vertice nel punto (0,0,-2) avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel piano xy.

Penso che potrei risolverlo effettuando un cambiamento di variabili da coordinate cartesiane a coordinate polari ma non so come esprimere il cono in tale sistema di coordinate (in verità non so nemmeno come esprimerlo tramite una equazione in coordinate cartesiane). Come posso fare?

[Rigel1]

Basta passare in coordinate cilindriche.
La sezione a quota \( z\in [-2,0]\) del cono è tale che \( x^2+y^2 \leq (z+2)^2/4\), cosa a cui puoi arrivare osservando che il raggio della circonferenza di tale cerchio soddisfa \( z= 2\rho - 2\) (basta fare un disegno).

[Sirio1988]

Penso di aver capito. Correggimi se sbaglio. Le sezioni orizzontali del cono sono gli insiemi di tutti gli $(x,y,z)inRR^3$tali che $x^2+y^2<=f(z)$. Per trovare f(z) mi basta quindi considerare la retta del piano yz passante per i punti (0,-2) e (1,0) di equazione $y=(z+2)/2$ da cui si ha $y^2=(z+2)^2/4$.
Quindi $x^2+y^2<=y^2=(z+2)^2/4$
Corretto?

[Rigel1]

E' meglio se la retta la scrivi nel piano $(z,\rho)$, così concludi che \( x^2+y^2\leq \rho^2 = ...\).

[Sirio1988]

Ok. Grazie.