Integrale triplo
Calcolare $intintint z^2dzdydx$ nella regione compresa fra le due sfere $x^2+y^2+z^2=R^2$ , $x^2+y^2+z^2=2Rz$
Ho provato a passare alle coordinate sferiche e mi diventa $intintint r^4cos^2(phi)sen(phi)drd(theta)d(phi)$, ma non riesco a trovare i limiti, le sto facendo da solo ste cose chiedo scusa e un pochino pochino di pazienza
Ho provato a passare alle coordinate sferiche e mi diventa $intintint r^4cos^2(phi)sen(phi)drd(theta)d(phi)$, ma non riesco a trovare i limiti, le sto facendo da solo ste cose chiedo scusa e un pochino pochino di pazienza
Risposte
La seconda sfera è uguale alla prima, ma traslata verso l'alto: questo perché $x^2+y^2+z^2=2Rz<=>x^2+y^2+x^2-2Rz+R^2=R^2$.
Quindi l'insieme di integrazione diventa ${(x, y, z)in RR^3: x^2+y^2+(z-R)^2>=R^2, x^2+y^2+z^2<=R^2}$.
Prova così, se hai difficoltà chiedi.
PS:
La regione di piano?
Quindi l'insieme di integrazione diventa ${(x, y, z)in RR^3: x^2+y^2+(z-R)^2>=R^2, x^2+y^2+z^2<=R^2}$.
Prova così, se hai difficoltà chiedi.
PS:
"emaz92":
... nella regione di piano compresa ...
La regione di piano?
"emmeffe90":
La seconda sfera è uguale alla prima, ma traslata verso l'alto: questo perché $x^2+y^2+z^2=2Rz<=>x^2+y^2+x^2-2Rz+R^2=R^2$.
Quindi l'insieme di integrazione diventa ${(x, y, z)in RR^3: x^2+y^2+(z-R)^2>=R^2, x^2+y^2+z^2<=R^2}$.
Prova così, se hai difficoltà chiedi.
PS:[quote="emaz92"]... nella regione di piano compresa ...
La regione di piano?
[/quote]si si, le due sfere le ho disegnate bene, sono passato in coordinate sferiche, ma non capisco bene gli estremi di integrazione
Hai queste due disuguaglianze: $x^2+y^2+z^2<=R^2$ e $x^2+y^2+(z-R)^2<=R^2$.
Passiamo a coordinate sferiche: $x=rho*cos theta*sin phi; y=rho*sin theta*sin phi; z=rho*cos phi$, con $rho>=0, theta in [0, 2pi], phi in [0, pi]$.
Dalla prima disequazione abbiamo $rho in [0, R]$. Poi, poiché nellla porzione di spazio compresa tra le due sfere si ha $z>0$, possiamo restringerci a $phi in [0, pi/2]$.
Consideriamo la seconda diseguaglianza: abbiamo $rho^2-2R*rho*cos phi >=0 <=> cos phi<=rho/(2R) <=> acos(rho/(2R))<=phi<=pi/2$.
Quindi l'insieme di integrazione nelle nuove coordinate dovrebbe essere ${(rho, theta, phi):rho in [0, R], theta in [0, 2pi], phi in [acos(rho/(2R)), pi/2]}$.
E a questo punto ti puoi calcolare l'integrale.
PS: controlla se non ho detto fesserie, ché mi capita spesso di farlo
Passiamo a coordinate sferiche: $x=rho*cos theta*sin phi; y=rho*sin theta*sin phi; z=rho*cos phi$, con $rho>=0, theta in [0, 2pi], phi in [0, pi]$.
Dalla prima disequazione abbiamo $rho in [0, R]$. Poi, poiché nellla porzione di spazio compresa tra le due sfere si ha $z>0$, possiamo restringerci a $phi in [0, pi/2]$.
Consideriamo la seconda diseguaglianza: abbiamo $rho^2-2R*rho*cos phi >=0 <=> cos phi<=rho/(2R) <=> acos(rho/(2R))<=phi<=pi/2$.
Quindi l'insieme di integrazione nelle nuove coordinate dovrebbe essere ${(rho, theta, phi):rho in [0, R], theta in [0, 2pi], phi in [acos(rho/(2R)), pi/2]}$.
E a questo punto ti puoi calcolare l'integrale.
PS: controlla se non ho detto fesserie, ché mi capita spesso di farlo
"emmeffe90":
Hai queste due disuguaglianze: $x^2+y^2+z^2<=R^2$ e $x^2+y^2+(z-R)^2<=R^2$.
Passiamo a coordinate sferiche: $x=rho*cos theta*sin phi; y=rho*sin theta*sin phi; z=rho*cos phi$, con $rho>=0, theta in [0, 2pi], phi in [0, pi]$.
Dalla prima disequazione abbiamo $rho in [0, R]$. Poi, poiché nellla porzione di spazio compresa tra le due sfere si ha $z>0$, possiamo restringerci a $phi in [0, pi/2]$.
Consideriamo la seconda diseguaglianza: abbiamo $rho^2-2R*rho*cos phi >=0 <=> cos phi<=rho/(2R) <=> acos(rho/(2R))<=phi<=pi/2$.
Quindi l'insieme di integrazione nelle nuove coordinate dovrebbe essere ${(rho, theta, phi):rho in [0, R], theta in [0, 2pi], phi in [acos(rho/(2R)), pi/2]}$.
E a questo punto ti puoi calcolare l'integrale.
PS: controlla se non ho detto fesserie, ché mi capita spesso di farlo
ti ringrazio per la pazienza, ma il calcolo non torna: il risultato dovrebbe essere $59/480 pir^5$
qualcuno avrebbe altri consigli sugli estremi di questo integrale?
sto provando e riprovando, strano che non venga dato che il ragionamento di emmeffe90 sembra corretto
Scusa se non ho risposto prima.
Comunque ecco l'inghippo:
L'ultima parte è sbagliata: infatti $cos phi<=rho/(2R) => phi<=acos(rho/(2R))$. Quindi $0<=phi<=acos(rho/(2R))$.
In questo modo dovrebbe venirti il risultato giusto.
È dunque confermata la seguente teoria:
Comunque ecco l'inghippo:
"emmeffe90":
abbiamo $rho^2-2R*rho*cos phi >=0 <=> cos phi<=rho/(2R) <=> acos(rho/(2R))<=phi<=pi/2$.
L'ultima parte è sbagliata: infatti $cos phi<=rho/(2R) => phi<=acos(rho/(2R))$. Quindi $0<=phi<=acos(rho/(2R))$.
In questo modo dovrebbe venirti il risultato giusto.
È dunque confermata la seguente teoria:
"emmeffe90":
PS: controlla se non ho detto fesserie, ché mi capita spesso di farlo
"emmeffe90":
Scusa se non ho risposto prima.
Comunque ecco l'inghippo:
[quote="emmeffe90"]
abbiamo $rho^2-2R*rho*cos phi >=0 <=> cos phi<=rho/(2R) <=> acos(rho/(2R))<=phi<=pi/2$.
L'ultima parte è sbagliata: infatti $cos phi<=rho/(2R) => phi<=acos(rho/(2R))$. Quindi $0<=phi<=acos(rho/(2R))$.
In questo modo dovrebbe venirti il risultato giusto.
È dunque confermata la seguente teoria:
"emmeffe90":[/quote]
PS: controlla se non ho detto fesserie, ché mi capita spesso di farlo
, grazie, provo
è bastardetto questo integrale, non vuole tornare 
qualcuno riesce a farlo passando in coordinate sferiche questo integrale?
Io l'ho calcolato e mi viene il risultato che hai postato qualche tempo fa.
Posta i tuoi calcoli, magari l'errore è lì.
Posta i tuoi calcoli, magari l'errore è lì.
"emmeffe90":
Io l'ho calcolato e mi viene il risultato che hai postato qualche tempo fa.
Posta i tuoi calcoli, magari l'errore è lì.
allora proviamo, l' integrale da calcolare è: $int_0^(2pi)int_0^Rint_0^arccos(r/2R) r^4cos^2(phi)sen(phi)d(phi)drd(theta)$
il primo integrale $int_0^arccos(r/2R) r^4cos^2(phi)sen(phi)d(phi)$ è $-r^7/(24R^3)+r^4/3$
in secondo diventa: $int_0^R (-r^7/(24R^3)+r^4/3)dr=-R^5/192+R^5/15$
il terzo $int_0^(2pi)(-R^5/192+R^5/15)d(theta)=59/480piR^5$
ops, allora è giusto
, grazie emmeffe
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