Integrale triplo

[svarosky90]

Buon pomeriggio . Ho questo esercizio :Risolvere l'integrale triplo $ int int int_(D) (z-3)/(x^2+y^2) dx dy dz $ con $ D={(x,y,z) in RR ^3 | 1<=x^2+y^2<=4, 0<=3-sqrt(9-x^2-y^2) } $ Adesso, da quel che farei io passerei in coordina cilindriche, e ricordando la parametrizzazione riscriverei l'integrale cosi:
$ int_(1)^(2) int_(0)^(2pi) d rho d theta int_(0)^(3-sqrt(9-rho^2))z-3 dz $ Ora ammesso che l'integrale sia parametrizzato per bene come faccio? In questo caso non può venirmi un numero giusto? Se qualcuno può finirlo e farmi capire mi darebbe una mano grazie.

[ciampax]

Ti sei scordato lo Jacobiano della trasfomazione che vale $\rho$ per cui l'integrale diventa

[tex]$\int_1^2\int_0^{2\pi}\int_0^{3-\sqrt{9-\rho^2}}\frac{z-3}{\rho}\ dz\ d\theta\ d\rho=
2\pi\int_1^2\frac{1}{\rho}\left(\int_0^{3-\sqrt{9-\rho^2}}(z-3)\ dz\right)\ d\rho$[/tex]

e devi solgere i due integrali rimasti in successione.

[svarosky90]

Scusa ma il $ rho$ della trasformazione non si semplifica con il $rho$ che divide $(z-3) $?

[ciampax]

A denominatore hai $x^2+y^2=\rho^2$

[svarosky90]

ok quindi alla fine però il terzo integrale mi rimane dipendente da $rho$ giusto? non ho un numero?

[Antimius]

Dopo che hai integrato due volte, rispetto alle altre variabili, ancora ti rimane $\rho$. Ma poi ovviamente integri anche rispetto a quella variabile e alla fine ti rimarrà solo un valore.

[svarosky90]

Ok ma mi potresti far vedere il passaggio di [tex]\int_0^{3-\sqrt{9-\rho^2}}(z-3)\ dz\ d\rho$[/tex] ? Quello che voglio dire io è che quando sostituisco gli estremi all'integrale al posto di z mi ritrovo $rho$ e poi che devo fare? reintegrare in $rho$ di nuovo. Se qualcuno può farmi vedere i passaggi mi farebbe un favore.

[svarosky90]

scusate ma una volta che passo a risolvere l'integrale: [tex]\int_0^ {3-\sqrt{9-\rho^2}}(z-3) dz[/tex] mi viene così $[z^2/2 -3z]$ ora lo calcolo negli estremi di integrazione e viene $(3-sqrt(9-rho^2))/2 -9+3(sqrt(9-rho^2))$. Adesso basta che rifaccia il conto negli estremi di $rho$? o prima devo reintegrare perchè altrimenti il conto sarebbe molto più laborioso. Grazie a chi mi risponderà

[ciampax]

Dopo aver integrato rispetto a z e sostituito gli estremi ottieni una funzione dipendente da $\rho$ che va integrata! Ma dico, lo sai che un integrale $n$-plo vuol dire calcolare $n$ integrali???? A me pare che ti manchi proprio il concetto di base!