Integrale triplo
Ragazzi, ho qualche difficoltà col calcolo del seguente integrale triplo ( e col dominio):
$int_A zdxdydz$
con $A={(x,y,z)in R^3 : z>=2^-1, x^2+y^2+z^2<=1}$
Risolvendo dapprima rispetto a z, con estremi z=1/2 e $z=sqrt(1-x^2-y^2)$ trovo
$int int _D (1-x^2-y^2)/2-1/8 dxdy$
Come faccio a trovare l'insieme D che mi permette poi il calcolo dell'integrale rispetto a x e a y?
Vi ringrazio.
Alex
$int_A zdxdydz$
con $A={(x,y,z)in R^3 : z>=2^-1, x^2+y^2+z^2<=1}$
Risolvendo dapprima rispetto a z, con estremi z=1/2 e $z=sqrt(1-x^2-y^2)$ trovo
$int int _D (1-x^2-y^2)/2-1/8 dxdy$
Come faccio a trovare l'insieme D che mi permette poi il calcolo dell'integrale rispetto a x e a y?
Vi ringrazio.
Alex
Risposte
Un disegno in questo caso aiuta molto. Se guardi noterai che l'insieme di integrazione è ciò che rimane della sfera di raggio 1 centrata nell'origine se togli la parte che ha $z< 1/2$.
Allora basterà passare in coordinate cilindriche e fare un paio di osservazioni. Provaci, se non ti torna ne riparliamo.
Allora basterà passare in coordinate cilindriche e fare un paio di osservazioni. Provaci, se non ti torna ne riparliamo.
Ti ringrazio Zkeggia, ma non mi è chiaro il disegno. Ho una sfera centrata nell'origine e avente raggio uguale a 1.
Inoltre, devo considerare i valori per cui z>=1/2...
da questo come faccio a ricavarmi i valori delle altre due variabili? ( sempre guardando al disegno)...
So che è facile ma nelle cose più banali mi perdo
Inoltre, devo considerare i valori per cui z>=1/2...
da questo come faccio a ricavarmi i valori delle altre due variabili? ( sempre guardando al disegno)...
So che è facile ma nelle cose più banali mi perdo
Innanzi tutto ti consiglio di passare in coordinate cilindriche, quindi avrai $x^2 + y^2 = rho^2$, $alpha in (0,2pi)$.
A questo punto, ogni circonferenza che costituisce quella calotta sferica avrà raggio che spazza da 0 a $sqrt(1-z^2)$ (prova a disegnare)
mentre $z$ va da $1/2$ ad $1$
Quindi l'insieme lo formalizzerei come
$D = {(rho,alpha,z) in RR^3: alpha in (0,2pi), 0<=rho<=sqrt(1-z^2), 1/2 <=z<= 1}$
L'integrale diventerà:
$2pi int_(1/2)^1 z int_0 ^ (sqrt(1-z^2)) rho drho dz$
Torna?
A questo punto, ogni circonferenza che costituisce quella calotta sferica avrà raggio che spazza da 0 a $sqrt(1-z^2)$ (prova a disegnare)
mentre $z$ va da $1/2$ ad $1$
Quindi l'insieme lo formalizzerei come
$D = {(rho,alpha,z) in RR^3: alpha in (0,2pi), 0<=rho<=sqrt(1-z^2), 1/2 <=z<= 1}$
L'integrale diventerà:
$2pi int_(1/2)^1 z int_0 ^ (sqrt(1-z^2)) rho drho dz$
Torna?
non riesco a fare il disegno...
Allora, il disegno hai detto che l'hai fatto, quindi hai davanti a te una sfera di raggio 1, tagliata di tutto il pezzo più basso di $z=1/2$ (p.s. io per comodità considero l'asse z l'asse verticale)
Ti rimane una specie di cupola.
Adesso, notare che z varia tra $1/2$ ed $1$ non è particolarmente difficile, in una sfera di raggio 1 è chiaro che l'altezza massima sarà 1.
Ora considera quel pezzo di sfera come tante circonferenze con il centro sullo stesso asse ma ad altezza diversa e di raggio diverso messe una sopra l'altra. Riesci a dirmi quanto vale il raggio massimo di ogni circonferenza in funzione di $z$? È sufficiente conoscere il teorema di pitagora tenendo a mente che il raggio DELLA SFERA è 1.
Ti rimane una specie di cupola.
Adesso, notare che z varia tra $1/2$ ed $1$ non è particolarmente difficile, in una sfera di raggio 1 è chiaro che l'altezza massima sarà 1.
Ora considera quel pezzo di sfera come tante circonferenze con il centro sullo stesso asse ma ad altezza diversa e di raggio diverso messe una sopra l'altra. Riesci a dirmi quanto vale il raggio massimo di ogni circonferenza in funzione di $z$? È sufficiente conoscere il teorema di pitagora tenendo a mente che il raggio DELLA SFERA è 1.
ha raggio 0 quando z è massimo.
raggio massimo quando z è minimo. Considerando il teorema di Pitagora, e quanto da te detto precedentemente, il raggio varia secondo lalegge $sqrt(1-z^2)$
raggio massimo quando z è minimo. Considerando il teorema di Pitagora, e quanto da te detto precedentemente, il raggio varia secondo lalegge $sqrt(1-z^2)$
Perfettamente, quindi in pratica se fissi uno z, avrai una circonferenza con raggio da 0 a $sqrt(1-z^2)$ Questo per ogni z tra $1/2$ ed 1.
Quindi il tuo insieme è diventato
$D = { (x,y,z)in RR^3: 1/2 <= z <=1, x^2 + y^2 + z^2 <=1}$
dalla seconda relazione hai che
$x^2 +y^2 <= 1 -z^2$
Questa relazione è ancora bruttarella.
Guardando il disegno, soffermandoci su una particolare circonferenza, si nota l'evidente simmetria di rotazione, ovvero fissato un raggio, dopo averlo fatto ruotare di $2pi$ si ottiene proprio una circonferenza.
Ma se si passa in coordinate polari su xy, con la relazione $x = rho cos alpha$, $y = rho sen alpha$, si ha proprio $x^2 + y^2 = rho^2$, e la relazione diventa $rho^2 <= 1 - z^2$. $alpha$ chiaramente varierà tra 0 e 2 pi greco. Da descrivere a parole è un po' difficile, però di fatto non stiamo facendo altro che applicare il teorema di fubini, per vedere una sfera come l'unione di infinite circonferenze, ognuna di raggio $sqrt(1-z^2)$.
In pratica, guardando la sfera dall'alto, vedrai tante circonferenze una sopra l'altra, ognuna di raggio $sqrt(1- z^2)$.
In coordinate polari questo significa che $rho$ va da 0 a $sqrt(1-z^2)$ per ogni circonferenza (perché tu vuoi considerare la sfera piena), ed $alpha$ va da 0 a $2pi$
Adesso hai finito, il tuo insieme è diventato molto semplice:
$D={(rho, alpha, z) in RR^3: alpha in (0,2pi), 0<=rho<= sqrt(1-z^2), 1/2<=z<=1}$
Quindi il tuo insieme è diventato
$D = { (x,y,z)in RR^3: 1/2 <= z <=1, x^2 + y^2 + z^2 <=1}$
dalla seconda relazione hai che
$x^2 +y^2 <= 1 -z^2$
Questa relazione è ancora bruttarella.
Guardando il disegno, soffermandoci su una particolare circonferenza, si nota l'evidente simmetria di rotazione, ovvero fissato un raggio, dopo averlo fatto ruotare di $2pi$ si ottiene proprio una circonferenza.
Ma se si passa in coordinate polari su xy, con la relazione $x = rho cos alpha$, $y = rho sen alpha$, si ha proprio $x^2 + y^2 = rho^2$, e la relazione diventa $rho^2 <= 1 - z^2$. $alpha$ chiaramente varierà tra 0 e 2 pi greco. Da descrivere a parole è un po' difficile, però di fatto non stiamo facendo altro che applicare il teorema di fubini, per vedere una sfera come l'unione di infinite circonferenze, ognuna di raggio $sqrt(1-z^2)$.
In pratica, guardando la sfera dall'alto, vedrai tante circonferenze una sopra l'altra, ognuna di raggio $sqrt(1- z^2)$.
In coordinate polari questo significa che $rho$ va da 0 a $sqrt(1-z^2)$ per ogni circonferenza (perché tu vuoi considerare la sfera piena), ed $alpha$ va da 0 a $2pi$
Adesso hai finito, il tuo insieme è diventato molto semplice:
$D={(rho, alpha, z) in RR^3: alpha in (0,2pi), 0<=rho<= sqrt(1-z^2), 1/2<=z<=1}$
Ti ringrazio immensamente Zkeggia. Sei stato chiarissimo e gentilissimo =)
Tutto svolto!
Ti auguro una buona giornata.
Grazie ancora,
Alex
Tutto svolto!
Ti auguro una buona giornata.
Grazie ancora,
Alex
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