Integrale triplo
Ciao a tutti! L'integrale fa parte di un compito d'esame, non ho la soluzione, ma non sono neanche riuscito a trovarla da solo, vi spiego.
$ int int int_T |x^2-1|dxdydz $ con $ T = { (x,y,z) \in RR^3 " t.c. " x>= 0", "1 <= x^2 + y^2 + z^2<=4 }$
A quanto pare T è una specie di corona di calotta sferica, di raggi 1 e 4. Allora ho applicato le coordinate sferiche, e risulta:
$1 <= \rho^2 <= 4$ => $1 <= \rho <= 2$.
La condizione $x >= 0$ mi dice anche che dev'essere $-\pi/2 <= \theta <= \pi/2$. ( anche se in teoria $\theta$ sarebbe limitato tra $0$ e $2\pi$ e non tra $-\pi$ e $\pi$, credo non cambi niente no? )
Non sembrano esserci condizioni su $\phi$ e quindi lo prenderò tra $0$ e $\pi$, giusto?
Ora...Una volta ottenute queste informazioni posso scindere l'integrale. Il problema è quel valore assoluto.... Come lo risolvo?
Sarebbe $x<-1 \cup x > 1$, ma essendo poi x una funzione di tre variabili... come devo fare? Devo scindere ancora l'integrale?!
Nei miei apopunti c'è un solo esercizio col valore assoluto, ma arrivati a questo punto il professore ha detto:
"va beh è troppo difficile, facciamolo finta che non c'è il valore assoluto"
Solo che non credo di poter utilizzare questa tecnica durante l'esame
Consigli?
$ int int int_T |x^2-1|dxdydz $ con $ T = { (x,y,z) \in RR^3 " t.c. " x>= 0", "1 <= x^2 + y^2 + z^2<=4 }$
A quanto pare T è una specie di corona di calotta sferica, di raggi 1 e 4. Allora ho applicato le coordinate sferiche, e risulta:
$1 <= \rho^2 <= 4$ => $1 <= \rho <= 2$.
La condizione $x >= 0$ mi dice anche che dev'essere $-\pi/2 <= \theta <= \pi/2$. ( anche se in teoria $\theta$ sarebbe limitato tra $0$ e $2\pi$ e non tra $-\pi$ e $\pi$, credo non cambi niente no? )
Non sembrano esserci condizioni su $\phi$ e quindi lo prenderò tra $0$ e $\pi$, giusto?
Ora...Una volta ottenute queste informazioni posso scindere l'integrale. Il problema è quel valore assoluto.... Come lo risolvo?
Sarebbe $x<-1 \cup x > 1$, ma essendo poi x una funzione di tre variabili... come devo fare? Devo scindere ancora l'integrale?!
Nei miei apopunti c'è un solo esercizio col valore assoluto, ma arrivati a questo punto il professore ha detto:
"va beh è troppo difficile, facciamolo finta che non c'è il valore assoluto"
Solo che non credo di poter utilizzare questa tecnica durante l'esame
Consigli?
Risposte
Nessuno da un'occhiata? :\
lo sto guardando ma devi darmi un po' di tempo perchè li ho inziati a studiare da poco. eventualmente ti rispondo più tardi se non interviene qualcun altro (ammesso di essere in grado di farlo)
comunque le coordinate sferiche, visto il dominio, mi sembrano corrette..
[edit] le cose sono due: o ci sono metodi di integrazione che non ho ancora visto, oppure si incasina un po' con il modulo.. e lì bisogna stare attenti alle limitazioni.
nel caso dell'argomento > 0:
l'estremo inferiore di $rho$ diventa $ 1/(sin phi cos theta) $ (ti faccio presente che sei in un sottoinsieme di R^3 in cui $\sin phi$ e $cos theta $ sono sempre positivi) tenendo conto che hai $ 1/(sin phi cos theta) < 2 $. poi ti devi ricalcolare gli estremi di theta. è molto laborioso..
comunque le coordinate sferiche, visto il dominio, mi sembrano corrette..
[edit] le cose sono due: o ci sono metodi di integrazione che non ho ancora visto, oppure si incasina un po' con il modulo.. e lì bisogna stare attenti alle limitazioni.
nel caso dell'argomento > 0:
l'estremo inferiore di $rho$ diventa $ 1/(sin phi cos theta) $ (ti faccio presente che sei in un sottoinsieme di R^3 in cui $\sin phi$ e $cos theta $ sono sempre positivi) tenendo conto che hai $ 1/(sin phi cos theta) < 2 $. poi ti devi ricalcolare gli estremi di theta. è molto laborioso..
già... quindi mi resta da pregare che non mi capiti una cosa del genere? 
forse sono io che non ho inquadrato bene il problema perchè mi sono svegliato da poco, ma tu hai quella corona, che è delimitata tra $1 < x < 2$ (visti i raggi delle sfere). Poi vedi che la funzione è positiva per $x > 1$, quindi non ti resta che togliere il modulo e basta.. Mi è sfuggito qualcosa ?
non può funzionare: è $rho$ ad essere compreso tra 1 e 2. il dominio è tutta una metà di una corona di calotta sferica.
comunque non sono sicuro che l'angolo di longitudine possa essere compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$ perchè in questo modo si comprende lo 0: ci sono delle considerazioni da fare sull'iniettività, che altrimenti andrebbe persa, della funzione del cambio di variabili. ora sono un po' di fretta, aggiorno appena posso.
comunque non sono sicuro che l'angolo di longitudine possa essere compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$ perchè in questo modo si comprende lo 0: ci sono delle considerazioni da fare sull'iniettività, che altrimenti andrebbe persa, della funzione del cambio di variabili. ora sono un po' di fretta, aggiorno appena posso.
In definitiva nessuno sa come risolvere integrali come questo? :\
mah, evidentemente ci sono punti di vista diversi.. 
non hai per caso il risultato ?
non hai per caso il risultato ?
No purtroppo no... è un bel problema :\
mmmh, bell'esercizio, comunque provo ad abbozzare una soluzione...
Innanzitutto l'angolo $phi$ io lo farei variare tra $-pi/2$ e $pi/2$, ripensando al suo significato geometrico, dato che è praticamente l'inclinazione dell'angolo che mi dà la quota $z$ della sfera...
Inoltre per spezzare il modulo provo ad immaginarmi l'insieme in questione, è in effetti la differenza tra due sfere concentriche, una di raggio 1 e l'altra di raggio 2, solo considerando la parte $x>0$, di conseguenza spezzando il modulo rimane
$x^2-1$ per $x<-1 U x>1$ e $1-x^2$ per $-1
Di conseguenza io considererei solo $x^2-1$ dato che le $x$ variano tra 1 e 2...
Innanzitutto l'angolo $phi$ io lo farei variare tra $-pi/2$ e $pi/2$, ripensando al suo significato geometrico, dato che è praticamente l'inclinazione dell'angolo che mi dà la quota $z$ della sfera...
Inoltre per spezzare il modulo provo ad immaginarmi l'insieme in questione, è in effetti la differenza tra due sfere concentriche, una di raggio 1 e l'altra di raggio 2, solo considerando la parte $x>0$, di conseguenza spezzando il modulo rimane
$x^2-1$ per $x<-1 U x>1$ e $1-x^2$ per $-1
Di conseguenza io considererei solo $x^2-1$ dato che le $x$ variano tra 1 e 2...
Mmm... forse sono io che non riesco ad inquadrare la figura, non sei il primo che suggerisce il fatto che le x sono $>1$, ma ancora non riesco a capire il perchè :\
Nelle ipotesi non è solo specificato che $x > 0$ ?
Nelle ipotesi non è solo specificato che $x > 0$ ?
Prova a pensarla così, l'insieme in questione non è altro che lo spazio che c'è tra due sfere concentriche nell'origine...
Quella più interna ha raggio 1, mentre quella più esterna ha raggio 2, così ti è più chiaro?
Quella più interna ha raggio 1, mentre quella più esterna ha raggio 2, così ti è più chiaro?
Beh si, ma comunque essendo sfere non si "rientra" verso l'asse x?
[asvg]axes();
circle( [0,0], 1);
circle( [0,0], 2);
line( [1,3], [1,-3] );[/asvg]
Questa sarebbe una proiezione della nostra corona ( sarebbe una calotta, dato x>0, quindi ignoriamo la parte a sinistra )
Allora, tu dici di considerare solo lo spazio per x>1, a destra della retta no? Ma effettivamente non si dovrebbe anche considerare lo spazio a sinistra, sopra e sotto la circonferenza interna?
EDIT: ho aggiustato il grafico
[asvg]axes();
circle( [0,0], 1);
circle( [0,0], 2);
line( [1,3], [1,-3] );[/asvg]
Questa sarebbe una proiezione della nostra corona ( sarebbe una calotta, dato x>0, quindi ignoriamo la parte a sinistra )
Allora, tu dici di considerare solo lo spazio per x>1, a destra della retta no? Ma effettivamente non si dovrebbe anche considerare lo spazio a sinistra, sopra e sotto la circonferenza interna?
EDIT: ho aggiustato il grafico
In effetti hai ragione, ciò che avevo considerato era il raggio!
"lorenzorus":
Non ho capito se avete risolto il problema comunque io penso che si faccia così:
una volta stabilito che le x devono essere maggiori di 1, perchè il modulo suggerisce di dividere il problema in x<-1 e x>1 ma il dominio che ci viene dato impone le x>0, l'integrale di restringe a quello della parte di sfera grande che è oltre il piano x=1. Quindi con le formule di riduzione si può calcolare l'integrale della funzione rispetto alle x nell'intervallo
$ 1 < x < sqrt(4-(y)^(2)-(z)^(2) ) $
e poi calcolare l'integrale doppio esteso alla circonferenza che nasce dall'intersezione del piano e della sfera grande in coordinate polari!
Premettendo che anche io sono uno studente da poco alle prese con la materia spero di non essermi sbagliato e di aver reso chiaro il concetto
Ciao Lorenzorus
Mi sa che ho capito... Allora se spezzassimo l'integrale in due, la prima parte per $x>1$, al limite del raggio della sfera più piccola, allora potremmo considerare il solo volumke della sfera esterna, non curandoci della presenza di quella interna.
Per $x<=1$ invece potremmo integrare ancora però con $ \sqrt(1-y^2-z^2) < x < sqrt(4-(y)^(2)-(z)^(2) ) $ vediamo un pò se va
no, no.
se l'argomento del modulo è maggiore di 0 allora vale quello che ha detto, altrimenti devi considerare le x tra 0 e 1.
scusa ho risposto mentre modificavi il tuo post..
se l'argomento del modulo è maggiore di 0 allora vale quello che ha detto, altrimenti devi considerare le x tra 0 e 1.
scusa ho risposto mentre modificavi il tuo post..
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