Integrale Triplo
ho alcune perplessità su questo integrale...
$\int int int x^2 dxdy$
con V=[(x,y,z) $in$ $RR^3$ : $x^2 + y^2 + z^2 <= 1$ $y>=0$ ; $z>=0$ ]
non capisco bene le sostituzioni con le coordinate polari... grazie per l'aiuto
$\int int int x^2 dxdy$
con V=[(x,y,z) $in$ $RR^3$ : $x^2 + y^2 + z^2 <= 1$ $y>=0$ ; $z>=0$ ]
non capisco bene le sostituzioni con le coordinate polari... grazie per l'aiuto
Risposte
E' semplice! Ti spiego subito! Passando in coordinate polari in $RR^3$, poni $x=rhocostheta$, $y=rhosentheta$ e $z=z$, e andando a sostituire nel dominio ottieni:
$\{(rho^2+z^2<=1),(rhosentheta>=0),(z>=0):}$
Ora, tenendo conto della prima e dell'ultima segue $0<=z<=sqrt(1-rho^2)$, e dalla seconda, considerando che $rho$ è un raggio ed è sempre positivo otteni $sentheta>=0$, da cui segue ovviamente $0<=theta<=pi$. Manca da trovare l'intervallo di definizione di $rho$, e per far ciò basta trovare il dominio della radice che figura nella $z$, ovvero $rho^2<=1$ e quindi $00$ sempre, quindi escludiamo le soluzioni negative). A questo punto l'integrale da risolvere è:
$\int int int [rho^3cos^2theta]drhod$$thetadz$ nel dominio $V={(rho,theta,z) in RR^3: 0
Qualche professore potrebbe dirti di andare a vedere graficamente il dominio, va anche bene, in quanto gli intervalli di definizione di $rho$ e $theta$ li vedi più rapidamente, però devi avere dimestichezza con la geometria e avere pratica nel disegnare in tre dimensione. In questo caso il tuo dominio dovrebbe essere (secondo i miei vaghi ricordi di geometria!!!
) una sfera di raggio $rho=1$, considerando però solo la parte positiva per la condizione $sentheta>=0$. L'unico problema è trovare l'intervallo di definizione della $z$, ma ti ripeto, con questo secondo metodo non ho molta dimestichezza in tre dimensioni e potrei dirti castronerie! Viene molto più facile applicare questo metodo in due dimensioni.
Il primo invece è il metodo che uso solitamente io, andando a sostituire le variabili polari nel dominio e risolvere algebricamente il sistema che ne esce fuori, e non mi ha dato mai problemi, quindi vai tranquillo!
$\{(rho^2+z^2<=1),(rhosentheta>=0),(z>=0):}$
Ora, tenendo conto della prima e dell'ultima segue $0<=z<=sqrt(1-rho^2)$, e dalla seconda, considerando che $rho$ è un raggio ed è sempre positivo otteni $sentheta>=0$, da cui segue ovviamente $0<=theta<=pi$. Manca da trovare l'intervallo di definizione di $rho$, e per far ciò basta trovare il dominio della radice che figura nella $z$, ovvero $rho^2<=1$ e quindi $0
$\int int int [rho^3cos^2theta]drhod$$thetadz$ nel dominio $V={(rho,theta,z) in RR^3: 0
Qualche professore potrebbe dirti di andare a vedere graficamente il dominio, va anche bene, in quanto gli intervalli di definizione di $rho$ e $theta$ li vedi più rapidamente, però devi avere dimestichezza con la geometria e avere pratica nel disegnare in tre dimensione. In questo caso il tuo dominio dovrebbe essere (secondo i miei vaghi ricordi di geometria!!!
) una sfera di raggio $rho=1$, considerando però solo la parte positiva per la condizione $sentheta>=0$. L'unico problema è trovare l'intervallo di definizione della $z$, ma ti ripeto, con questo secondo metodo non ho molta dimestichezza in tre dimensioni e potrei dirti castronerie! Viene molto più facile applicare questo metodo in due dimensioni.Il primo invece è il metodo che uso solitamente io, andando a sostituire le variabili polari nel dominio e risolvere algebricamente il sistema che ne esce fuori, e non mi ha dato mai problemi, quindi vai tranquillo!
sei stato molto gentile grazie 
però credo ho fatto un errore nella trascrizione ora che guardo il problema..
era:
$int int int x^2 y z$
credo che cmq non cambi molto,cambia la sostituzione, sbaglio? il prof non chiede il grafico (menomale)..
vediamo se ho capito bene con un'altro esercizio...
$int int int z sqrt(x^2 + y^2 + z^2) dxdydz$
dove $V = [(x,y,z) in RR^3 : x^2+ y^2 + z^2 <= 1 ; x^2 + y^2 <= z^2 ; z>=0 ; x >= 0)$
allora sostituisco con le coordinate cilindriche e il dominio diventa...
$\rho cos theta >=0$ poi $z>=0 ; rho^2 <= z^2 ; rho^2 + z^2 <= 1$ ...
se vado a guardare $\theta$ trovo che $rho >= 0$ e che quindi $cos theta >= 0$ da cui $\0<= theta <= pi $
se invece guardo la disugualianza $rho^2 <= z^2$ trovo che $rho <= z$ ... e qui mi fermo, perchè nell'ultima equazione viene $0 <=z<= sqrt(1 - rho^2)$ dovrei trovare il dominio della radice ma ho quel $rho <= z$ che mi blocca...
come faccio a trovare il dominio se sopra ho l'altra equazione?
grazie
però credo ho fatto un errore nella trascrizione ora che guardo il problema..
era:$int int int x^2 y z$
credo che cmq non cambi molto,cambia la sostituzione, sbaglio? il prof non chiede il grafico (menomale)..
vediamo se ho capito bene con un'altro esercizio...
$int int int z sqrt(x^2 + y^2 + z^2) dxdydz$
dove $V = [(x,y,z) in RR^3 : x^2+ y^2 + z^2 <= 1 ; x^2 + y^2 <= z^2 ; z>=0 ; x >= 0)$
allora sostituisco con le coordinate cilindriche e il dominio diventa...
$\rho cos theta >=0$ poi $z>=0 ; rho^2 <= z^2 ; rho^2 + z^2 <= 1$ ...
se vado a guardare $\theta$ trovo che $rho >= 0$ e che quindi $cos theta >= 0$ da cui $\0<= theta <= pi $
se invece guardo la disugualianza $rho^2 <= z^2$ trovo che $rho <= z$ ... e qui mi fermo, perchè nell'ultima equazione viene $0 <=z<= sqrt(1 - rho^2)$ dovrei trovare il dominio della radice ma ho quel $rho <= z$ che mi blocca...
come faccio a trovare il dominio se sopra ho l'altra equazione?
grazie
Per il primo, l'integrale da risolvere diventa $int int int rho^4cos^2thetasenthetaz drhod$$thetadz$, ma se il dominio era quellao che mi avevi detto il ragionamento vale lo stesso!
Per il secondo fai attenzione!
Inanzitutto $costheta>=0$ solo per $3/2*pi<=theta<=pi/2$ (stavolta stiamo parlando del $cos$ e non del $sen$); poi, da $rho^2<=z^2$ segue $z<=-rho$ $vv$ $z>=rho$ (è una disequazione di secondo grado risolta rispetto a $z$!), da cui, escludendo la soluzione negativa e includendo tale soluzione nell'intervallo della $z$ otteniamo $rho<=z<=sqrt(1-rho^2)$. Resta solo l'intervallo di $rho$: dall'intervallo di $z$ segue naturalmente $rho<=sqrt(1-rho^2)$, da cui segue $rho^2<=1-rho^2$, da cui segue $rho^2<=1/2$ e quindi $0<=rho<=1/sqrt(2)$!
Se non ho fatto errori di calcolo (e se non ho detto castronerie! Sto studiando anche io Analisi II ora!!!), l'integrale da calcolare sarà:
$int int int rhozsqrt(rho^2+z^2)drhod$$thetadz$ calcolato in $V={(rho,theta,z) in RR^3: 0<=rho<=1/sqrt(2), 3/2*pi<=theta<=pi/2, rho<=z<=sqrt(1-rho^2)}
Per il secondo fai attenzione!
Inanzitutto $costheta>=0$ solo per $3/2*pi<=theta<=pi/2$ (stavolta stiamo parlando del $cos$ e non del $sen$); poi, da $rho^2<=z^2$ segue $z<=-rho$ $vv$ $z>=rho$ (è una disequazione di secondo grado risolta rispetto a $z$!), da cui, escludendo la soluzione negativa e includendo tale soluzione nell'intervallo della $z$ otteniamo $rho<=z<=sqrt(1-rho^2)$. Resta solo l'intervallo di $rho$: dall'intervallo di $z$ segue naturalmente $rho<=sqrt(1-rho^2)$, da cui segue $rho^2<=1-rho^2$, da cui segue $rho^2<=1/2$ e quindi $0<=rho<=1/sqrt(2)$!
Se non ho fatto errori di calcolo (e se non ho detto castronerie!
Sto studiando anche io Analisi II ora!!!), l'integrale da calcolare sarà:$int int int rhozsqrt(rho^2+z^2)drhod$$thetadz$ calcolato in $V={(rho,theta,z) in RR^3: 0<=rho<=1/sqrt(2), 3/2*pi<=theta<=pi/2, rho<=z<=sqrt(1-rho^2)}
ok, incomincio a capirci qualche cosa.. credo... ma te le coordinate sferiche non le usi? o mi consigli di usare quelle cilindriche per le sfere?
poi ti volevo chiedere, ma $theta$ nel secondo esercizio non è $pi/2 <= theta >=3/2pi$ ?
ho un'altro esercizio.. ti ringrazio della pazienza!
$int int int x y z dx dy dz$
$V = [(x, y, z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 <= 1 ; x >= 0 ; y >= 0 ; z >= 0 ]$
io mi trovo $0 <= theta <= pi/2$ e $ 0 <= z <= sqrt(1 - rho^2)$ e infine $0 <= rho <= 1$
$int int int rho^2 sentheta costheta z drho d theta dz$
ma te le coordinate sferiche non le usi? o mi consigli di usare quelle cilindriche per le sfere?poi ti volevo chiedere, ma $theta$ nel secondo esercizio non è $pi/2 <= theta >=3/2pi$ ?
ho un'altro esercizio..
ti ringrazio della pazienza!$int int int x y z dx dy dz$
$V = [(x, y, z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 <= 1 ; x >= 0 ; y >= 0 ; z >= 0 ]$
io mi trovo $0 <= theta <= pi/2$ e $ 0 <= z <= sqrt(1 - rho^2)$ e infine $0 <= rho <= 1$
$int int int rho^2 sentheta costheta z drho d theta dz$
Usa le coordinate sferiche, non quelle cilindriche! Le condizioni ti si semplificano di parecchio! 
Il dominio va bene! Occhio però che il termine $rho$ dentro l'integrale è $rho^3$; ti sei dimenticato il $rho$ che viene dalla matrice Jacobiana! Penso che con le coordinate sferiche vada bene lo stesso, però io non le uso molto, non mi stanno molto simpatiche! !!! Alla fine a parte l'intervallo della $z$ le condizioni non sono niente di che, sia $rho$ che $theta$ sono definite in intervalli semplici!
!!! Alla fine a parte l'intervallo della $z$ le condizioni non sono niente di che, sia $rho$ che $theta$ sono definite in intervalli semplici!
risolto, faccio delle prove e cerco di applicare le coordinate adatte... grazie
[mod="Gugo82"]Ricordo a Trank e Gios che è tuttora in vigore questo regolamento; se vi foste presi la briga di leggerlo (cfr. regole 1.2-1.4), sapreste che il forum non va usato come state facendo voi due.[/mod]
Per passare Analisi II sarebbe consigliabile conoscere almeno i rudimenti di Analisi I...
Che ti suggerisce $"d"(cos t) =-sin t " d" t$?
(N.B.: Questa relazione ti aiuta sia per l'integrale in $theta$ sia per quello in $phi$.)
"Trank":
scusate ma $int sin theta cos theta d theta$ come lo integro?
Per passare Analisi II sarebbe consigliabile conoscere almeno i rudimenti di Analisi I...
Che ti suggerisce $"d"(cos t) =-sin t " d" t$?
(N.B.: Questa relazione ti aiuta sia per l'integrale in $theta$ sia per quello in $phi$.)
c'ho pensato 5 secondi fa...
Chiedo scusa Gugo, volevo solo essere d'aiuto! Farò in modo che non accada più! E' che quando vedo un esercizio di questo tipo ci prendo gusto!!!
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