Integrale triplo (4)
Altro integrale da esame in cui mi cimento, abbiate pazienza ragazzi 
Sia $ E ={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2+z^2<=2, y>0, sqrt(3)z>=sqrt(x^2+y^2)} $ .
Calcolare $ int int int_(E)y* dx dy dz $
Procedo con le coordinate sferiche e ottengo: $ { ( 0
Dico subito che la condizione $y>0$ mi ha messo un po' in imbarazzo, potrei aver scritto baggianate
L'integrale diventa quindi: $ int_(0)^(pi) senvartheta dvartheta int_(0)^(2)r^3drint_(0)^(pi/3)sen^2varphidvarphi $
da cui ottengo il risultato: $2^3*pi/6*(-1/4sen(2/3pi))$
Che, ancora, mi sembra un pochino sospetto...
Invoco ancora una volta il vostro Sapere Matematico
Sia $ E ={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2+z^2<=2, y>0, sqrt(3)z>=sqrt(x^2+y^2)} $ .
Calcolare $ int int int_(E)y* dx dy dz $
Procedo con le coordinate sferiche e ottengo: $ { ( 0
Dico subito che la condizione $y>0$ mi ha messo un po' in imbarazzo, potrei aver scritto baggianate
L'integrale diventa quindi: $ int_(0)^(pi) senvartheta dvartheta int_(0)^(2)r^3drint_(0)^(pi/3)sen^2varphidvarphi $
da cui ottengo il risultato: $2^3*pi/6*(-1/4sen(2/3pi))$
Che, ancora, mi sembra un pochino sospetto...
Invoco ancora una volta il vostro Sapere Matematico
Risposte
Ti faccio una domanda: ma tu le riscrivi le condizioni che determinano i domini quando fai il cambiamento di coordinate, o vai ad occhio? Perché se le riscrivessi, vedresti che
$$r^2\leq 2,\qquad r\sin\theta\cos\varphi>0,\qquad \sqrt{3} r\sin\varphi\geq\sqrt{r^2\cos^2\varphi}$$
Ora, già la prima l'hai cannata, perché deve risultare $0\leq r\leq\sqrt{2}$. La condizione $y\geq 0$ implica che $\theta\in[0,\pi]$ (devi prendere solo la parte con le $y$ positive - con la tua scelta di coordinate polari, risulta $\cos\varphi\geq 0$ per ogni $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$). L'ultima condizione risulta equivalente a
$$\sqrt{3}\sin\varphi\geq \cos\varphi$$
da cui dividendo per $\cos\varphi$ (sempre positivo) si ricava $\tan\varphi\geq\sqrt{3}/3$ la cui soluzione, con la scelta dell'angolo $\varphi$ fatta, risulta $\varphi\in[\pi/3,\pi/2]$
Pertanto le condizioni del dominio risultano
$$0\leq r\leq\sqrt{2},\qquad 0\leq\theta\leq\pi,\qquad \pi/3\leq\varphi\leq\pi/2$$
$$r^2\leq 2,\qquad r\sin\theta\cos\varphi>0,\qquad \sqrt{3} r\sin\varphi\geq\sqrt{r^2\cos^2\varphi}$$
Ora, già la prima l'hai cannata, perché deve risultare $0\leq r\leq\sqrt{2}$. La condizione $y\geq 0$ implica che $\theta\in[0,\pi]$ (devi prendere solo la parte con le $y$ positive - con la tua scelta di coordinate polari, risulta $\cos\varphi\geq 0$ per ogni $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$). L'ultima condizione risulta equivalente a
$$\sqrt{3}\sin\varphi\geq \cos\varphi$$
da cui dividendo per $\cos\varphi$ (sempre positivo) si ricava $\tan\varphi\geq\sqrt{3}/3$ la cui soluzione, con la scelta dell'angolo $\varphi$ fatta, risulta $\varphi\in[\pi/3,\pi/2]$
Pertanto le condizioni del dominio risultano
$$0\leq r\leq\sqrt{2},\qquad 0\leq\theta\leq\pi,\qquad \pi/3\leq\varphi\leq\pi/2$$
Ormai è da due anni che non faccio altro che farmi bastonare dai matematici, dopo qualche domanda si rendono conto del povero idiota con cui hanno a che fare...
Ti ringrazio comunque tantissimo per la risposta!
Ti ringrazio comunque tantissimo per la risposta!
Il mio intento non era bastonarti, ma farti porre l'attenzione su un fatto: spesso le cose si risolvono più facilmente facendo i calcoli (o, come diceva il mio relatore di dottorato, facendosi trasportare da essi) che mettendosi sotto a volerci ragionare troppo. Scrivere le equazioni e disequazioni nelle nuove coordinate spesso ti fa vedere subito qualcosa che, altrimenti, potrebbe essere più complesso osservare, a meno di non avere un buon occhio.
Ciao, scusa se rispondo adesso, ma mi ero dimenticato di riguardarmi bene l'esercizio con tanti pensieri in testa. In effetti, riguardando, mi ritrovo ancora con qualche dubbio in merito alle limitazioni di $phi$ 
Ponendo: $ { ( x = rho*senphi*costheta ),( y=rho*senphi*sentheta ),( z=rho*cosphi ):} $
ottengo che: $sqrt(3)*rho*cosphi>=sqrt(rho^2sen^2(phi)) rarr tanphi<=sqrt(3) rarr phi<=pi/3$
e non riesco proprio a venirne fuori...
Chiedo scusa per il disturbo e ringrazio ancora.
Ponendo: $ { ( x = rho*senphi*costheta ),( y=rho*senphi*sentheta ),( z=rho*cosphi ):} $
ottengo che: $sqrt(3)*rho*cosphi>=sqrt(rho^2sen^2(phi)) rarr tanphi<=sqrt(3) rarr phi<=pi/3$
e non riesco proprio a venirne fuori...
Chiedo scusa per il disturbo e ringrazio ancora.
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