Integrale triplo (3)

[enrico.bellemo]

Rieccomi, questa volta con un integrale da esame che mi ha decisamente spiazzato

Ecco il testo:

"Siano $ 0
$ E = {(x,y,z)inR^3:x^2+y^2+z^2<=R^2, h
Calcolare $ int int int_(E)x/sqrt(x^2+y^2+z^2) dx dy dz $ "

Ho pensato di usare coordinate sferiche, ottenendo:

$ { ( 0<=r<=R ),( -pi/2<=varphi<=pi/2 ),( 0<=vartheta<=2pi ):} $

(...ma poi mi è venuto in mente: ed i termini $h$ e $H$ a che servono? )

Si ottiene quindi l'integrale: $ int_(0)^(R) r dr int_(0)^(2pi) cosvartheta int_(-pi/2)^(pi/2) dvarphi $

avendo ovviamente saltato i passaggi perchè piuttosto semplici.

Ora, non penso che l'integrale possa risultare zero, perchè come ho proceduto io l'integrale del coseno tra $0$ e $2pi$ si annulla e si porta dietro tutto il resto (in realtà i valori di $vartheta$ sono messi più per " usuale prassi" che per ragionamento ) ...

Chiedo quindi cortesemente aiuto e vi ringrazio

[anonymous_0b37e9]

Per motivi di simmetria l'integrale è nullo. Ad ogni modo, ti propongo questo procedimento:

$int_(\{(y^2+z^2<=R^2),(h
$=int_(\{(y^2+z^2<=R^2),(h
$=int_(\{(y^2+z^2<=R^2),(h

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[enrico.bellemo]

Ti dirò la verità: non mi è molto chiaro ciò che hai fatto...
Piuttosto che scervellarmi ancora, volevo chiederti: il mio procedimento è sbagliato o può andar bene?
Ad ogni modo, ti ringrazio per la risposta!

[ciampax]

In ogni caso, con le coordinate sferiche dovresti scrivere una condizione del tipo

$$h<\ r\cos\varphi
in quanto il dominio $E$ rappresenta una porzione della sfera (quella compresa tra i piani $z=h$ e $z=H$).

Comunque, piuttosto che le coordinate sferiche, ti consiglierei di usare quelle cilindriche (ed è in sostanza ciò che ha fatto l'altro utente).

[anonymous_0b37e9]

Nel tuo calcolo la simmetria si manifesta proprio integrando in $\theta$. Ad ogni modo, gli estremi di integrazione in $\phi$ sono sbagliati.

[enrico.bellemo]

Giuro che ci ho provato anche in coordinate cilindriche, ma non ne vengo fuori con gli estremi di integrazione
Sareste così gentili da esibire il procedimento da applicare? Vi ringrazio.

[ciampax]

In coordinate cilindriche

$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z$$

possiamo scrivere le condizioni per $E$ come

$$\rho^2+z^2\leq R^2,\qquad h < z < H$$

Pertanto si ha

$$\theta\in[0,2\pi],\qquad h < z < H,\qquad 0\leq \rho\leq\sqrt{R^2-z^2}$$

[enrico.bellemo]

Quindi ottengo: $int_(h)^(H) dz int_(0)^(2pi) cosvartheta dvartheta int_(0)^(sqrt(R^2-z^2)) r dr$ ?

Con l'integrale del coseno che annulla il tutto.

[ciampax]

Esattamente quello che ti stava suggerendo l'altro utente.