Integrale triplo (2)

[enrico.bellemo]

[Avvertitemi subito se non è corretto fare due post così rapidamente]

Ecco il secondo integrale di cui non riesco a venire a capo!

Dato l'insieme: $ E = {(x,y,z)inR^3 : x^2+y^2+z^2<=9; z>=sqrt(3)sqrt(x^2+y^2)} $

calcolare: $ int int int_(E) z *dx dy dz $

Vengono usate questa volta le coordinate sferiche: $ { ( x=rsen(varphi)cos(vartheta) ),( y=rsen(varphi)sen(vartheta) ),( z=rcos(varphi) ):} $

di conseguenza: $ { ( 0<=r<=3 ),( 0<=varphi<=pi/6 ),( 0<=vartheta<=2pi ):} $

essendo il differenziale $ r^2sen(varphi)*dvarphidvarthetadr $

mi trovo con $ int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(pi/6) (sen^2(varphi))/2 dvarphi int_(0)^(3) r^3 dr $

Ora, l'integrale in $r$ mi dà $(3^4)/4$

quello in $varphi$ invece: $(1/8)*[2varphi-sen(2varphi)]_(0)^(pi/6)$

e alla fine, svolgendo l'integrale in $vartheta$, ottengo: $(3^4)/4*pi*((2pi-3sqrt(3))/6)$

che, sinceramente, mi sembra un po' strano/confuso come risultato Per questo chiedo umilmente il vostro parere

[coffee2]

In coordinate sferiche l'integrale dovrebbe essere $\int_0^{2\pi}d\vartheta\int_0^{\pi/6}\sin\varphi\cos\varphi d\varphi\int_0^3 r^3dr$

[enrico.bellemo]

Giusto, quindi $(sen(2varphi))/2$ Adesso riprovo

[enrico.bellemo]

Può essere che venga: $ 2pi*(3^4)/4*1/8 rarr 3^4/16pi $

[coffee2]

Giusto

[enrico.bellemo]

Evvai! Grazie mille!