Integrale triplo

[mate1231]

Buongiorno, sto svolgendo esercizi sugli integrali tripli ma non riesco bene a capire come comportarmi quando, come in questo caso, ho la somma di due variabili elevate a potenza (in questo caso (y+z)^2)

\( \int_{\Omega } \frac{4y}{10(y+z)^2+1} \) con \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : -1\leq x\leq 10(y+z)^2, 0\leq z\leq 2 ,0\leq y\leq 3z \right \} \)

Ho provato ad integrare per fili paralleli all'asse x, ma ottengo un integrale doppio che faccio fatica a risolvere, qualcuno può illuminarmi la via?

[Mephlip]

Ciao mate123, benvenuto sul forum!

Perché dici che l'integrale doppio ottenuto dopo aver integrato in $x$ è faticoso? Temo che ci sia qualche errore nei tuoi conti, perché a me viene semplicissimo. Ti va di scrivere i conti? Provo a fare il veggente: hai per caso dimenticato un segno $-$ del teorema fondamentale del calcolo integrale e l'integrale in $x$ ti viene $10(y+z)^2-1$ invece del corretto $10(y+z)^2-(-1)=10(y+z)^2+1$, che guarda caso si semplifica col denominatore?

[mate1231]

Grazie del benvenuto! Ok ammetto che riguardando l'esercizio era decisamente più semplice di quello che pensassi, sarò stato estremamente distratto nella risoluzione. Inoltre ero riuscito a risolverlo riscrivendo la disuguaglianza in x come \( 0

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[Mephlip]

Prego! Ma figurati, stai imparando e quindi non devi pensare che le tue domande siano banali. Poi qui è tutto anonimo, quindi meglio ancora.

Comunque, non mi torna l'ultima cosa che hai scritto: a parte la mancanza del fattore $10$ che moltiplica $(y+z)^2$, da $-1 \le x \le 10(y+z)^2$ segue che $0\le x+1 \le 10(y+z)^2+1$; in sostanza, devi sommare $1$ in tutte le disuguaglianze e non solo in quelle "più esterne". Non so se è stato un errore di trascrizione qui sul forum, ma comunque te l'ho voluto far notare; almeno se non lo sapevi, ora lo sai .

[mate1231]

Ti ringrazio molto.
Se possibile vorrei chiedere aiuto su un altro esercizio, che riguarda sempre gli integrali tripli.
Non so come impostare il calcolo in questo esercizio:
QUanto vale il volume dell'insieme \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 :3y^2+2z^2-1\leq x\leq z^2-y^2 \right \} \) ?
Immagino sia necessario optare per un passaggio in coordinate ellittiche o polari (?) ma vorrei capire come ragionare quando affronto un problema del genere. Grazie ancora.

[Mephlip]

Prego! Di solito si preferisce un esercizio per thread, però sei nuovo e quindi tranquillo; questo lo discutiamo qui e poi in futuro, se hai altri esercizi simili a uno di cui stai già discutendo, apri per favore un altro thread.

Per l'esercizio: le coordinate ellittiche sarebbero perfette se avessimo gli stessi coefficienti a moltiplicare $y^2$ e $z^2$ sia a membro di sinistra che a membro di destra delle disuguaglianze. Io direi di integrare prima in $x$:
$$|\Omega|=\iiint_\Omega 1 \text{d}x \text{d}y \text{d}z=\iint_A \left(\int_{3y^2+2z^2-1}^{z^2-y^2}1 \text{d}x\right)\text{d}y \text{d}z=\iint_A (1-4y^2-z^2)\text{d}y \text{d}z$$
Dove $A=\{(y,z) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 3y^2+2z^2-1 \le z^2-y^2\}$. Riesci a concludere da qui?

[mate1231]

Perfetto, la prossima volta aprirò un altro thread.
Per l'esercizio, a questo punto io passerei in coordinate ellittiche per ottenere \( \int -\rho ^2+1 d\rho d\vartheta \) con \(0\leq \rho \leq 1,0\leq \vartheta \leq 2pi\) per poi calcolare l'integrale doppio ma non sono convinto sia corretto..

[Mephlip]

Allora, non è corretto ma per motivi di calcolo. L'idea è giusta e hai scritto correttamente il nuovo dominio in coordinate ellittiche, ma hai commesso un peccato imperdonabile: hai dimenticato il determinante della matrice jacobiana del cambio di variabili! Quando fai un cambio di variabili devi sempre calcolarlo. Nel caso delle coordinate ellittiche, da $y=a \rho \cos \theta$ e $z=b \rho \sin \theta$ hai che $\text{d}y \text{d}z=ab \rho \text{d}\rho \text{d}\theta$. Correggendo questo, dovresti riuscire a concludere senza problemi.

[mate1231]

Sono un idiota, chiedo perdono Grazie per l'aiuto, mi hai salvato la giornata