Integrale triplo
Buongiorno, sto svolgendo esercizi sugli integrali tripli ma non riesco bene a capire come comportarmi quando, come in questo caso, ho la somma di due variabili elevate a potenza (in questo caso (y+z)^2)
\( \int_{\Omega } \frac{4y}{10(y+z)^2+1} \) con \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : -1\leq x\leq 10(y+z)^2, 0\leq z\leq 2 ,0\leq y\leq 3z \right \} \)
Ho provato ad integrare per fili paralleli all'asse x, ma ottengo un integrale doppio che faccio fatica a risolvere, qualcuno può illuminarmi la via?
\( \int_{\Omega } \frac{4y}{10(y+z)^2+1} \) con \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : -1\leq x\leq 10(y+z)^2, 0\leq z\leq 2 ,0\leq y\leq 3z \right \} \)
Ho provato ad integrare per fili paralleli all'asse x, ma ottengo un integrale doppio che faccio fatica a risolvere, qualcuno può illuminarmi la via?
Risposte
Ciao mate123, benvenuto sul forum!
Perché dici che l'integrale doppio ottenuto dopo aver integrato in $x$ è faticoso? Temo che ci sia qualche errore nei tuoi conti, perché a me viene semplicissimo. Ti va di scrivere i conti? Provo a fare il veggente: hai per caso dimenticato un segno $-$ del teorema fondamentale del calcolo integrale e l'integrale in $x$ ti viene $10(y+z)^2-1$ invece del corretto $10(y+z)^2-(-1)=10(y+z)^2+1$, che guarda caso si semplifica col denominatore?
Perché dici che l'integrale doppio ottenuto dopo aver integrato in $x$ è faticoso? Temo che ci sia qualche errore nei tuoi conti, perché a me viene semplicissimo. Ti va di scrivere i conti? Provo a fare il veggente: hai per caso dimenticato un segno $-$ del teorema fondamentale del calcolo integrale e l'integrale in $x$ ti viene $10(y+z)^2-1$ invece del corretto $10(y+z)^2-(-1)=10(y+z)^2+1$, che guarda caso si semplifica col denominatore?

Grazie del benvenuto! Ok ammetto che riguardando l'esercizio era decisamente più semplice di quello che pensassi, sarò stato estremamente distratto nella risoluzione. Inoltre ero riuscito a risolverlo riscrivendo la disuguaglianza in x come \( 0
Prego! Ma figurati, stai imparando e quindi non devi pensare che le tue domande siano banali. Poi qui è tutto anonimo, quindi meglio ancora.
Comunque, non mi torna l'ultima cosa che hai scritto: a parte la mancanza del fattore $10$ che moltiplica $(y+z)^2$, da $-1 \le x \le 10(y+z)^2$ segue che $0\le x+1 \le 10(y+z)^2+1$; in sostanza, devi sommare $1$ in tutte le disuguaglianze e non solo in quelle "più esterne". Non so se è stato un errore di trascrizione qui sul forum, ma comunque te l'ho voluto far notare; almeno se non lo sapevi, ora lo sai
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Comunque, non mi torna l'ultima cosa che hai scritto: a parte la mancanza del fattore $10$ che moltiplica $(y+z)^2$, da $-1 \le x \le 10(y+z)^2$ segue che $0\le x+1 \le 10(y+z)^2+1$; in sostanza, devi sommare $1$ in tutte le disuguaglianze e non solo in quelle "più esterne". Non so se è stato un errore di trascrizione qui sul forum, ma comunque te l'ho voluto far notare; almeno se non lo sapevi, ora lo sai

Ti ringrazio molto.
Se possibile vorrei chiedere aiuto su un altro esercizio, che riguarda sempre gli integrali tripli.
Non so come impostare il calcolo in questo esercizio:
QUanto vale il volume dell'insieme \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 :3y^2+2z^2-1\leq x\leq z^2-y^2 \right \} \) ?
Immagino sia necessario optare per un passaggio in coordinate ellittiche o polari (?) ma vorrei capire come ragionare quando affronto un problema del genere. Grazie ancora.
Se possibile vorrei chiedere aiuto su un altro esercizio, che riguarda sempre gli integrali tripli.
Non so come impostare il calcolo in questo esercizio:
QUanto vale il volume dell'insieme \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 :3y^2+2z^2-1\leq x\leq z^2-y^2 \right \} \) ?
Immagino sia necessario optare per un passaggio in coordinate ellittiche o polari (?) ma vorrei capire come ragionare quando affronto un problema del genere. Grazie ancora.
Prego! Di solito si preferisce un esercizio per thread, però sei nuovo e quindi tranquillo; questo lo discutiamo qui e poi in futuro, se hai altri esercizi simili a uno di cui stai già discutendo, apri per favore un altro thread.
Per l'esercizio: le coordinate ellittiche sarebbero perfette se avessimo gli stessi coefficienti a moltiplicare $y^2$ e $z^2$ sia a membro di sinistra che a membro di destra delle disuguaglianze. Io direi di integrare prima in $x$:
$$|\Omega|=\iiint_\Omega 1 \text{d}x \text{d}y \text{d}z=\iint_A \left(\int_{3y^2+2z^2-1}^{z^2-y^2}1 \text{d}x\right)\text{d}y \text{d}z=\iint_A (1-4y^2-z^2)\text{d}y \text{d}z$$
Dove $A=\{(y,z) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 3y^2+2z^2-1 \le z^2-y^2\}$. Riesci a concludere da qui?
Per l'esercizio: le coordinate ellittiche sarebbero perfette se avessimo gli stessi coefficienti a moltiplicare $y^2$ e $z^2$ sia a membro di sinistra che a membro di destra delle disuguaglianze. Io direi di integrare prima in $x$:
$$|\Omega|=\iiint_\Omega 1 \text{d}x \text{d}y \text{d}z=\iint_A \left(\int_{3y^2+2z^2-1}^{z^2-y^2}1 \text{d}x\right)\text{d}y \text{d}z=\iint_A (1-4y^2-z^2)\text{d}y \text{d}z$$
Dove $A=\{(y,z) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 3y^2+2z^2-1 \le z^2-y^2\}$. Riesci a concludere da qui?
Perfetto, la prossima volta aprirò un altro thread.
Per l'esercizio, a questo punto io passerei in coordinate ellittiche per ottenere \( \int -\rho ^2+1 d\rho d\vartheta \) con \(0\leq \rho \leq 1,0\leq \vartheta \leq 2pi\) per poi calcolare l'integrale doppio ma non sono convinto sia corretto..
Per l'esercizio, a questo punto io passerei in coordinate ellittiche per ottenere \( \int -\rho ^2+1 d\rho d\vartheta \) con \(0\leq \rho \leq 1,0\leq \vartheta \leq 2pi\) per poi calcolare l'integrale doppio ma non sono convinto sia corretto..
Allora, non è corretto ma per motivi di calcolo. L'idea è giusta e hai scritto correttamente il nuovo dominio in coordinate ellittiche, ma hai commesso un peccato imperdonabile: hai dimenticato il determinante della matrice jacobiana del cambio di variabili! Quando fai un cambio di variabili devi sempre calcolarlo. Nel caso delle coordinate ellittiche, da $y=a \rho \cos \theta$ e $z=b \rho \sin \theta$ hai che $\text{d}y \text{d}z=ab \rho \text{d}\rho \text{d}\theta$. Correggendo questo, dovresti riuscire a concludere senza problemi.
Sono un idiota, chiedo perdono
Grazie per l'aiuto, mi hai salvato la giornata


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