Integrale triplo

[ValeForce]

Ciao a tutti!
Mi servirebbe una mano con questo esercizio:

Calcolare il seguente integrale triplo
$$\int_{T}|x-z|\,dx\,dy\,dz$$
con $T:y\geq0, x^2+y\leq1,0\leq z \leq1$

Il mio problema è il valore assoluto della funzione integranda. L'insieme diventa:
${ ( 0\leq y\leq1-x^2 ),( -1\leq x \leq1 ),( 0\leq z \leq1):}$
E quindi ottengo
$\int_{T}|x-z|\ dx\ dy\ dz=\int_{0}^{1}dz\int_{-1}^{1}dx\int_{0}^{1-x^2}|x-z|\ dy= \int_{0}^{1}dz\int_{-1}^{1}|x-z|(1-x^2)\ dx$
E non so come continuare. Probabilmente bisogna gestire l'insieme in maniera differente?
Mentre scrivevo il messaggio mi è venuta in mente qualcosa ma non so se è lecita. Ho pensato di spezzare l'integrale così:
$\int_{0}^{1}dz\int_{-1}^{1}|x-z|(1-x^2)\ dx=\int_{0}^{1}dz\int_{-1}^{z}(z-x)(1-x^2)\dx+\int_{0}^{1}dz\int_{z}^{1}(x-z)(1-x^2)\dx$
Grazie in anticipo.

[Bokonon]

Perchè non ragionare così...
Per $-1<=x<0$ abbiamo che $z>x$ sempre; quindi saprai creare il giusto integrale cambiato di segno.
Per $0<=x<=1$ vogliamo che $0<=z<=x<=1$, quindi $z<=x<=1$

[pilloeffe]

Ciao ValeForce,

In questo tipo di integrali consiglierei di ricorrere sempre alla definizione di modulo o valore assoluto:

$| x - z | := {(z - x \text{ se } x - z < 0 \iff x < z),(x - z \text{ se } x - z \ge 0 \iff x \ge z):} $

Ora, siccome $z \in [0, 1]$, la prima riga di tale definizione corrisponde alla prima riga del post precedente, nel quale

"Bokonon":Per $−1 \le x < 0$ abbiamo che $z > x$ sempre; quindi saprai creare il giusto integrale cambiato di segno.

A questo punto, come avrai senz'altro già capito, la seconda riga di tale definizione corrisponde alla seconda riga del post precedente, nel quale

"Bokonon":Per $0 \le x \le 1 $ vogliamo che $0 \le z \le x \le 1 $, quindi $z \le x \le 1$

[ValeForce]

Chiaro! Grazie per le risposte