Integrale triplo

[itisscience]

buon ferragosto!
$ int int int_(A) x^2/(x^2+z^2)dx dy dz $ con $ A={(x,y,z)∈RR^3:10} $

sto provando a calcolarlo in coordinate cilindriche, vorrei sapere dove sbaglio:
$ { ( x=rsentheta ),( y=y ),( z=rcostheta ):} $
$ int int int_(A) x^2/(x^2+z^2)dx dy dz $ $ = $ $ int int int_(B) r(r^2sen^2theta)/(r^2sen^2theta+r^2cos^2theta)dr dϑ dy $
con $ B={(r,theta,y):0<=theta<2pi,r
$ int_(0)^(2pi) (int_(1/(√2))^(1) (int_(r)^(√(2-r)) rsen^2theta dy) dx )dr)dϑ $

[Mephlip]

Ciao e buon Ferragosto anche a te! Sbagli gli estremi di integrazione per $y$: passando in cilindriche, hai dall'insieme $A$ (tenendo conto che in $A$ è $y>0$) che la limitazione $1 $$1 < r^2 +y^2 < 2 \iff 1-r^2 < y^2 < 2-r^2 \iff \sqrt{1-r^2} < y < \sqrt{2-r^2}$$
Con $0 \leq r \leq 1$ per condizione di realtà delle radici.
La limitazione $x^2-y^2+z^2 <0$ si trasforma (sempre tenendo conto che $y>0$) in
$$r^2-y^2 <0 \iff y^2 > r^2 \iff y > r$$
Perciò hai due limitazioni dal basso su $y$: ossia $y>r \wedge y >\sqrt{1-r^2}$, tali limitazioni dipendono in generale da $r$, quindi l'estremo di integrazione dal basso per $y$ varia in base all'intervallo in cui varia $r$.

Perciò, devi discutere $\text{min}_{0 \leq r \leq 1} \{r,\sqrt{1-r^2}\}$ e spezzare l'integrale nella somma di due integrali, ognuno avente il corrispondente limite dal basso su $y$ in base a dove varia $r$.

Come ti è uscito fuori $\frac{1}{\sqrt{2}}$ su $r$?

[itisscience]

quindi l'integrale in dy va spezzato in due integrali: il primo va da 0 a r e il secondo da r a $ √2-r^2 $ ?

[Mephlip]

Va spezzato in due integrali, ma la limitazione che varia è quella dal basso: quindi non come hai detto tu, ma da $r$ a $\sqrt{2-r^2}$ e da $\sqrt{1-r^2}$ a $\sqrt{2-r^2}$.
Questo perché dall'alto la limitazione su $y$ è sempre la stessa, ossia è sempre $\sqrt{2-r^2}$; invece dal basso hai "ambiguità" su $y$, perché è $>$ di due funzioni di $r$.

[itisscience]

capito, invece cercando di risolverlo in coordinate sferiche trovo $ { ( x=rsinthetacosphi ),( y=rcostheta ),( z=rsinthetasinphi ):} $ quindi $ 1 $ costheta>0 ->0<=theta

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[Mephlip]

Dal fatto che $cos^2 \theta - \sin^2 \theta =\cos(2\theta)$, hai che $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta <0 \iff -\cos(2\theta)<0 \iff \cos(2\theta)>0$.
O, se proprio non ricordi l'identità, è una differenza di quadrati: $\sin^2 \theta -\cos^2 \theta=(\sin \theta + \cos \theta)(\sin \theta - \cos \theta)$.
O, se non vedi la differenza di quadrati, è $\sin^2 \theta -\cos^2 \theta=1-2 \cos^2 \theta$ dal fatto che $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1$.
O ancora, visto che $\cos^2 \theta \geq 0$ e $\theta=\frac{\pi}{2}$ non è una soluzione della disequazione, dividendo per $\cos^2 \theta$ la disequazione $\sin^2 \theta -\cos^2 \theta<0$ è equivalente alla disequazione $\tan^2 \theta -1 <0$.

Come pretendi di poter calcolare integrali tripli se hai lacune di trigonometria elementare? Questo approccio allo studio ti porterà un sacco di problemi prima o poi, secondo me.