Integrale triplo

[mich_emc]

Buongiorno, volevo chiedere una conferma per quanto riguarda un integrale triplo:
$\int_{S} (\sqrt(x^2+y^2))dxdydz $. L'integrale è su $S={(x,y,z): x^2-2x+y^2\geq 0, z \in [0,1]}$

S rappresenta un cilindro, dunque ho pensato di risolvere l'integrale usando coordinate cilindriche. Svolgendo i conti, $r \in (0, 2\cos\theta)$. Mentre non riesco a ben capire gli estremi per l'angolo $\theta$.
Potete darmi una mano?
Grazie mille in anticipo

[Mephlip]

Ciao! Senza altre condizioni hai che $\theta \in [0,2\pi]$.

Tuttavia, hai che l'insieme $S$ si trasforma, tramite la trasformazione in coordinate cilindriche, in $S'=\{(\rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \rho \leq 2\cos \theta, 0 \leq z \leq 1\}$.

Perciò, hai una condizione aggiuntiva su $\theta$: essendo $\rho \geq 0$, hai che la condizione $\rho \leq 2\cos \theta$ è, in realtà, $0 \leq \rho \leq 2 \cos \theta$ e ciò implica che $0 \leq 2 \cos \theta$.

Quindi deve essere $2 \cos \theta \geq 0$; risolta la disequazione, intersechi il suo insieme delle soluzioni con l'intervallo $[0,2\pi]$ e troverai l'intervallo di integrazione per $\theta$.

[mich_emc]

Chiaro, grazie mille!