Integrale triplo
Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto per risolvere il seguente esercizio:
L'insieme mi suggerisce di integrare per sezioni di piede $z$, e così ho fatto. (Probabilmente se utilizzo le coordinate cilindriche ottengo la stessa cosa)
Successivamente passando alle coordinate polari ${ ( x=\rho /z \cos \theta ),( y=\rho \sin \theta ):}$ ottengo
$$\iiint\limits _T \frac{z^3}{(z^2x^2+y^2)^{3/2}} \,dx\,dy\,dz = \int_1^2 \,dz \, \iint\limits_{T_z} \frac{z^2}{\rho ^2} \,d\rho\,d\theta$$
con $T_z : \frac{z}{\cos \theta} \le \rho \le 2, 0 \le \theta \le \arctan (\sqrt{4-z^2}) $
dove $\rho$ minima la ho ottenuta da $x=1$ e invece $theta$ massima dall'intersezione della retta $x=1$ e l'ellisse $z^2x^2+y^2= 4$ (ovviamente qui $z$ è un parametro)
Il problema è che alla fine devo risolvere roba come $\int_1^2 \frac{sin^3(\arctan( \sqrt{4-z^2}))}{3z}\dz$.
L'impostazione iniziale è corretta? Facendo il disegno ho notato che la condizione $z^2x^2+y^2\ge 1$ è letteralmente inutile per definire l'insieme perché la $\rho$ minima la ottengo proprio da $x\ge 1$, visto che il semiasse $x$ di quell'ellisse è sempre minore di $1$, i.e. $\frac{1}{z} \le 1$ per $1 \le z \le 2$ (forse l'errore è nascosto da queste parti?
).
Mi servirebbe un aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Calcolare
$$\iiint\limits _T \frac{z^3}{(z^2x^2+y^2)^{3/2}} \,dx\,dy\,dz $$
Essendo $T$ l'insieme
$$T=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: 1\le z^2 x^2 + y^2 \le 4\,,x\ge 1\,, y \ge 0\,, 1\le z \le 2 \}$$
L'insieme mi suggerisce di integrare per sezioni di piede $z$, e così ho fatto. (Probabilmente se utilizzo le coordinate cilindriche ottengo la stessa cosa)
Successivamente passando alle coordinate polari ${ ( x=\rho /z \cos \theta ),( y=\rho \sin \theta ):}$ ottengo
$$\iiint\limits _T \frac{z^3}{(z^2x^2+y^2)^{3/2}} \,dx\,dy\,dz = \int_1^2 \,dz \, \iint\limits_{T_z} \frac{z^2}{\rho ^2} \,d\rho\,d\theta$$
con $T_z : \frac{z}{\cos \theta} \le \rho \le 2, 0 \le \theta \le \arctan (\sqrt{4-z^2}) $
dove $\rho$ minima la ho ottenuta da $x=1$ e invece $theta$ massima dall'intersezione della retta $x=1$ e l'ellisse $z^2x^2+y^2= 4$ (ovviamente qui $z$ è un parametro)
Il problema è che alla fine devo risolvere roba come $\int_1^2 \frac{sin^3(\arctan( \sqrt{4-z^2}))}{3z}\dz$.
L'impostazione iniziale è corretta? Facendo il disegno ho notato che la condizione $z^2x^2+y^2\ge 1$ è letteralmente inutile per definire l'insieme perché la $\rho$ minima la ottengo proprio da $x\ge 1$, visto che il semiasse $x$ di quell'ellisse è sempre minore di $1$, i.e. $\frac{1}{z} \le 1$ per $1 \le z \le 2$ (forse l'errore è nascosto da queste parti?
).
Risposte
"ValeForce":
... integrare per sezioni ...
Mi sembra più agevole integrare per fili:
Insieme $A_(xz)$
$[1-z^2x^2 lt= y^2 lt= 4-z^2x^2] ^^ [y gt= 0]$
Insieme $\Pi_(13)$
$[1-z^2x^2 lt= 4-z^2x^2] ^^ [4-z^2x^2 gt= 0] ^^ [x gt= 1] ^^ [1 lt= z lt= 2]$
In questo modo:
$\int_{\Pi_(13)}dxdz\int_{A_(xz)}dyf(x,y,z)=$
$=\int_{1}^{2}dx\int_{1}^{2/x}dz\int_{0}^{sqrt(4-z^2x^2)}dyz^3/(z^2x^2+y^2)^(3/2)=$
$=\int_{1}^{2}dx\int_{1}^{2/x}dzz/x^2[y/sqrt(z^2x^2+y^2)]_{0}^{sqrt(4-z^2x^2)}=$
$=1/2\int_{1}^{2}dx\int_{1}^{2/x}dzz/x^2sqrt(4-z^2x^2)=$
$=-1/6\int_{1}^{2}dx1/x^4[(4-z^2x^2)^(3/2)]_{1}^{2/x}=$
$=1/6\int_{1}^{2}dx(4-x^2)^(3/2)/x^4$
Per quanto riguarda l'ultimo integrale:
Grazie Sgt. Elias! È un conto molto lungo ma almeno si può calcolare la primitiva 
In realtà puoi calcolare la primitiva anche di quell'abominio, usando l'uguaglianza $\sin \arctan \phi = \frac{\phi}{\sqrt{1+\phi^2}$ valida per ogni $\phi \in \mathbb{R}$; tuttavia conti del genere ucciderebbero un maiale adulto, quindi eviterei.
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