Integrale triplo
Salve ho di nuovo bisogno del vostro aiuto. Purtroppo, a meno che non mi vengano già assegnati gli estremi di integrazione, ho difficoltà ad impostare il problema.
Venendo al dunque: mi viene chiesto di calcolare l'integrale triplo di z delle regione del primo ottante che si trova sopra il piano x+y-z=1 e sotto il piano z=1.
Ora, la regione sulla quale si deve integrare, se non ho capito male, è graficamente:
Cioè fra il piano blu, quello verde e quello viola
Proiettato sul piano xy, secondo come l'ho capito, è la regione compresa fra le rette y=1-x e y=2-x se x varia da 0 ad 1
Mentre la restante parte l'ho considerata come y compreso fra 0 ed y=2-x con x che varia da 1 a 2. In pratica l'ho scomposto nella somma di due integrali tripli di z con gli estremi così indicati, integrando prima rispetto a z, poi y ed infine x.
Ovviamente non mi esce, il primo mi viene 11/24 ( e lì ci avevo quasi creduto, perché il risultato è 17/24) mentre il secondo integrale mi viene 2/3, quindi 9/8 come risultato finale.
$ int_(0)^(1)dx int_(1-x)^(2-x)dy int_(x+y-1)^(1) zdz $
così ho impostato il primo ed analogamente il secondo.
Grazie in anticipo.
Venendo al dunque: mi viene chiesto di calcolare l'integrale triplo di z delle regione del primo ottante che si trova sopra il piano x+y-z=1 e sotto il piano z=1.
Ora, la regione sulla quale si deve integrare, se non ho capito male, è graficamente:
Cioè fra il piano blu, quello verde e quello viola
Proiettato sul piano xy, secondo come l'ho capito, è la regione compresa fra le rette y=1-x e y=2-x se x varia da 0 ad 1
Mentre la restante parte l'ho considerata come y compreso fra 0 ed y=2-x con x che varia da 1 a 2. In pratica l'ho scomposto nella somma di due integrali tripli di z con gli estremi così indicati, integrando prima rispetto a z, poi y ed infine x.
Ovviamente non mi esce, il primo mi viene 11/24 ( e lì ci avevo quasi creduto, perché il risultato è 17/24) mentre il secondo integrale mi viene 2/3, quindi 9/8 come risultato finale.
$ int_(0)^(1)dx int_(1-x)^(2-x)dy int_(x+y-1)^(1) zdz $
così ho impostato il primo ed analogamente il secondo.
Grazie in anticipo.
Risposte
"victorr":
calcolare l'integrale triplo di z delle regione del primo ottante che si trova sopra il piano x+y-z=1 e sotto il piano z=1.
Siamo nel primo ottante quindi $x,y,z>=0$ da cui $0<=z<=1$
Come hai disegnato nel secondo grafico, per $z=0$ abbiamo il triangolo di vertici (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) di area 1/2.
Per $z=2$ abbiamo il triangolo di vertici (0,0,2) (2,0,2) (0,2,0) di area 2.
L'area della regione è la somma delle aree dei triangoli isosceli, che volendo si può scrivere $int_1^2 A^2/2 dA=7/6$
Ora impostiamo l'integrale triplo.
Se dovessimo trovare l'area del triangolo per $z=0$ scriveremmo $int_0^1int_0^(1-x)dydx=1/2$
Ma il lato del triangolo varia perchè x ed y dipendono anche da z, quindi: $int_0^1int_0^(1+z)int_0^(1-x+z)dydxdz=7/6$
"Bokonon":
[quote="victorr"]calcolare l'integrale triplo di z delle regione del primo ottante che si trova sopra il piano x+y-z=1 e sotto il piano z=1.
Siamo nel primo ottante quindi $x,y,z>=0$ da cui $0<=z<=1$
Come hai disegnato nel secondo grafico, per $z=0$ abbiamo il triangolo di vertici (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) di area 1/2.
Per $z=2$ abbiamo il triangolo di vertici (0,0,2) (2,0,2) (0,2,0) di area 2.
L'area della regione è la somma delle aree dei triangoli isosceli, che volendo si può scrivere $int_1^2 A^2/2 dA=7/6$
Ora impostiamo l'integrale triplo.
Se dovessimo trovare l'area del triangolo per $z=0$ scriveremmo $int_0^1int_0^(1-x)dydx=1/2$
Ma il lato del triangolo varia perchè x ed y dipendono anche da z, quindi: $int_0^1int_0^(1+z)int_0^(1-x+z)dydxdz=7/6$[/quote]
Ciao grazie per esserti preso del tempo. Il tuo risultato purtroppo non è giusto, infatti il libro mi dà 17/24.
Non so se l'ho già specificato all'inizio, l'integrale da calcolare è
$ int int int_(S)z dx dy dz $
"victorr":
Non so se l'ho già specificato all'inizio
[strike]Non lo sai davvero?[/strike]
Non avevo letto bene. Se tu mettessi le formule...
Basta calcolare nel medesimo modo: $int_0^1zint_0^(1+z)int_0^(1-x+z)dydxdz=17/24$
"Bokonon":
[quote="victorr"]
Non so se l'ho già specificato all'inizio
[strike]Non lo sai davvero?[/strike]
Non avevo letto bene. Se tu mettessi le formule...
Basta calcolare nel medesimo modo: $int_0^1zint_0^(1+z)int_0^(1-x+z)dydxdz=17/24$[/quote]
Grazie, ho un'altra domanda. Ma si sarebbe potuto seguire l'ordine di integrazione che avevo scelto all'inizio? Se sì, dov'è che avevo sbagliato? Cioè come avrei dovuto impostarlo il problema? Capire l'errore nella mia impostazione mi interesserebbe.
Se volevi calcolare l'integrale partendo da $x$, e poi $y$ e $z$ dovevi comunque spezzarlo in 3 parti.
Le 3 parti sono:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
$ +\int_{0}^{1} \int_{1-x}^{2-x} \int_{x+y-1}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
$+ \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} \int_{x+y-1}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
Questo e' necessario perche' quando fai le integrazioni di integrali tripli, ma anche doppi, le "facce" opposte devono essere funzioni semplici e non composte da spezzate. Se sono composte da spezzate, allora va spezzato anche l'integrale, ovviamente.
Le 3 parti sono:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
$ +\int_{0}^{1} \int_{1-x}^{2-x} \int_{x+y-1}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
$+ \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} \int_{x+y-1}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
Questo e' necessario perche' quando fai le integrazioni di integrali tripli, ma anche doppi, le "facce" opposte devono essere funzioni semplici e non composte da spezzate. Se sono composte da spezzate, allora va spezzato anche l'integrale, ovviamente.
"Quinzio":
Se volevi calcolare l'integrale partendo da $x$, e poi $y$ e $z$ dovevi comunque spezzarlo in 3 parti.
Le 3 parti sono:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
$ +\int_{0}^{1} \int_{1-x}^{2-x} \int_{x+y-1}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
$+ \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} \int_{x+y-1}^{1} z\ dz \ dy \ dx$
Questo e' necessario perche' quando fai le integrazioni di integrali tripli, ma anche doppi, le "facce" opposte devono essere funzioni semplici e non composte da spezzate. Se sono composte da spezzate, allora va spezzato anche l'integrale, ovviamente.
Aah ok, nei calcoli che avevo fatto, avevo praticamente escluso il primo degli integrali che hai scritto. Per qualche ragione, ho pensato che non avrei dovuto considerarla, visto che nel primo ottante è compresa fra z=0 e z=1 e non più fra z=1 e z=x+y-1. Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo