Integrale triplo
Ciao, potete dirmi solo il risultato che porta a voi questo esercizio per vedere se ho risolto correttamente $ E ={(x,y,z)inR^3t.c.0<=2x<=y,2z>=1,x^2+y^2+(z-1/2)^2<=1} $
$ int int int_(E)^() xy dx dy dz $
Grazie
$ int int int_(E)^() xy dx dy dz $
Grazie
Risposte
Un'altra cosa.
Integrando per strati vi trovate un angolo $theta$ strano, compreso tra (0,20pi e pi/2) ? Perché mi ritrovo un'arctan2
Integrando per strati vi trovate un angolo $theta$ strano, compreso tra (0,20pi e pi/2) ? Perché mi ritrovo un'arctan2
bastian, è ora di essere più sicuro di te.
Prova a confermare i tuoi calcoli da solo, magari usando una variante (che forse non hai mai osato usare
).
Poni $z-1/2=w$ e riscrivi il tutto in funzione di x, y e w.
Prova a confermare i tuoi calcoli da solo, magari usando una variante (che forse non hai mai osato usare
).Poni $z-1/2=w$ e riscrivi il tutto in funzione di x, y e w.
Eh ma devo essere sicuro di aver fatto I calcoli bene perché non ho "prove del 9" per capire se ho fatto bene non avendo un risultato su questo esercizio, anche errori di calcolo.
Io ho integrato per fili con $rho$ tra 0e1 $theta$ tra $0,35pi$ e $pi/2$ e z tra 0 e $sqrt(1-rho^2)$
solo che $theta$ a causa dell'altra condizione è strano perché a un certo punto mi ritrovo un'arctan2 e viene $0,35pi$ mi sembra strano.
Quanto ti porta?
Io ho integrato per fili con $rho$ tra 0e1 $theta$ tra $0,35pi$ e $pi/2$ e z tra 0 e $sqrt(1-rho^2)$
solo che $theta$ a causa dell'altra condizione è strano perché a un certo punto mi ritrovo un'arctan2 e viene $0,35pi$ mi sembra strano.
Quanto ti porta?
Non ti far spaventare dal termine poco frequente (qualunque cosa significhi) $\arctan 2$: come ti ho già consigliato in un altro messaggio conviene sempre che scrivi i passaggi che hai effettuato per esteso, così chi legge i tuoi messaggi ha tutto il materiale per analizzare bene il tuo svolgimento.
Comunque l'integrale può essere affrontato anche passando in coordinate sferiche, effettuando preliminarmente il cambio di variabili che ti ha già suggerito Bokonon.
Comunque l'integrale può essere affrontato anche passando in coordinate sferiche, effettuando preliminarmente il cambio di variabili che ti ha già suggerito Bokonon.
Grazie mille ho provato anche la tua parametrizzazione, io avevo usato la parametrizzazione in coordinate polari sul dominio per z=1/2 e poi ho integrato z tra 1/2 e 3/2 quindi per strati .
Ho solo un dubbio però
Mi ritrovo questo $0<=2costheta<=sintheta$
Come agisco qui? Io considero il primo quadrante però quando interseco per vedere l'intervallo che soddisfa theta di solito grafico normalmente $sintheta$ e inserisco il doppio sull'asse delle ordinate dell'andamento di cosx.
Però l'esatto punto di intersezione come lo vedo? $?<=Theta<=pi/2$
Faccio la tangente?
$arctan2<=theta$ con $costheta>=0$ ?
Grazie
Ps. Ditemi qual è il vostro risultato!
Ho solo un dubbio però
Mi ritrovo questo $0<=2costheta<=sintheta$
Come agisco qui? Io considero il primo quadrante però quando interseco per vedere l'intervallo che soddisfa theta di solito grafico normalmente $sintheta$ e inserisco il doppio sull'asse delle ordinate dell'andamento di cosx.
Però l'esatto punto di intersezione come lo vedo? $?<=Theta<=pi/2$
Faccio la tangente?
$arctan2<=theta$ con $costheta>=0$ ?
Grazie
Ps. Ditemi qual è il vostro risultato!
Dal fatto che $\cos \theta \geq 0$ puoi dividere mantenendo l'ordine, quindi giungi a $\theta \geq \arctan 2$ perché in $0 \leq \theta leq \frac{\pi}{2}$ la tangente è monotòna crescente.
A me viene $\frac{1}{75}$, prova a farlo anche in coordinate sferiche come esercizio.
Non capisco però perché vuoi complicarti la vita va bene uguale integrare in $z$, ma sostituire $w=z-\frac{1}{2}$ ti aiuta! In generale, i cambi di variabile fatti bene sono tuoi amici.
A me viene $\frac{1}{75}$, prova a farlo anche in coordinate sferiche come esercizio.
Non capisco però perché vuoi complicarti la vita
va bene uguale integrare in $z$, ma sostituire $w=z-\frac{1}{2}$ ti aiuta! In generale, i cambi di variabile fatti bene sono tuoi amici.
Cavolo non ci avevo pensato io ho provato anche la parametrizzazione sferica però direttamente sulla circonferenza traslata rispetto all'origine con x0,y0,z0 (0,0,1/2) come punto iniziale. Questa ulteriore variante proprio non l'ho presa in considerazione. A me viene 43/3125 cambia l'approssimazione va bene uguale vero? Ce ne possono essere tanti di cambi di variabile mi sa. Ancora grazie
Una cosa ti chiedo. Come hai fatto a ottenere un risultato diciamo pulito? Cioè, la tangente è compresa tra $0,35pi, pi/2$ ,quindi a un certo punto integro sin^2 tra $pi/2 , 0,35pi$ però mi risulta 0,0258. Dopo lo moltiplico per $128/240$ la seconda parte dello svolgimento. Lo so è un dettaglio però vorrei sapere se c'è un modo per trattare questi valori di angolo diciamo non convenzionali. Grazie
Prego! No, non va bene in questo contesto devi ottenere un risultato esatto.
Non capisco perché compare quel $0.35 \pi$, scrivi semplicemente $\arctan 2$ e fai i conti con quello.
Seguendo la strada delle coordinate cilindriche, avendo posto precedentemente $w=z-\frac{1}{2}$, hai che
$$\iiint_E xy \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w$$
Dove $F=\{(\rho,\theta,w)\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ 0\leq\rho\leq1, \ \arctan2\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leqw\leq\sqrt{1-\rho^2}}$.
Perciò
$$\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w=\int_{\arctan2}^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-\rho^2}} \rho^3\cos\theta\sin\theta\text{d}w\right)\text{d}\rho\right)\text{d}\theta$$
Ora fai i conti, ricordando che $\sin(\arctan \psi)=\frac{\psi}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$; o che $\cos(\arctan \psi)=\frac{1}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$, dipende come integri il prodotto $\cos\theta\sin\theta$.
devi ottenere un risultato esatto.Non capisco perché compare quel $0.35 \pi$, scrivi semplicemente $\arctan 2$ e fai i conti con quello.
Seguendo la strada delle coordinate cilindriche, avendo posto precedentemente $w=z-\frac{1}{2}$, hai che
$$\iiint_E xy \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w$$
Dove $F=\{(\rho,\theta,w)\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ 0\leq\rho\leq1, \ \arctan2\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leqw\leq\sqrt{1-\rho^2}}$.
Perciò
$$\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w=\int_{\arctan2}^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-\rho^2}} \rho^3\cos\theta\sin\theta\text{d}w\right)\text{d}\rho\right)\text{d}\theta$$
Ora fai i conti, ricordando che $\sin(\arctan \psi)=\frac{\psi}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$; o che $\cos(\arctan \psi)=\frac{1}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$, dipende come integri il prodotto $\cos\theta\sin\theta$.
Sai perché. Perché io ho calcolato proprio arctan 2 che è circa 66gradi e in radianti è 0,35pi l'ho svolto esplicitamente.
Quindi mi complicherei cosi?
Quindi mi complicherei cosi?
Non è che ti complichi la vita, sbagli proprio stai facendo matematica, non laboratorio di fisica! Non si approssima, a meno che non venga esplicitamente richiesto dall'esercizio (negli esercizi tipo: calcolare l'integrale con un errore inferiore a...).
Ce lo scrivi questo conto? Vedrai che ti torna.
stai facendo matematica, non laboratorio di fisica! Non si approssima, a meno che non venga esplicitamente richiesto dall'esercizio (negli esercizi tipo: calcolare l'integrale con un errore inferiore a...).Ce lo scrivi questo conto?
Vedrai che ti torna.
Ah bene io ho sempre la tentazione di scrivere un numero e quindi l'arctanx tendo sempre a trasformarla e quindi a sbagliare in questo contesto. Comunque si è esatto così il numero è preciso $ int_(1/3)^(3/2) int_(arctan2)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(1-(z-1/2)^2)) rho^3costhetasintheta drho d theta dz $ =1/75
Domanda... Con la tua parametrizzazione quindi è come se considerassi lo spazio x,y,t con t=z-2 giusto? Una traslazione del sistema di riferimento e poi cambio l'insieme in funzione della parametrizzazione
$ E={(x,y,t) in R^3 t.c. 0<=2x<=y , t>=0, x^2+y^2+t^2<=1 $ giusto? Ancora grazie
Domanda... Con la tua parametrizzazione quindi è come se considerassi lo spazio x,y,t con t=z-2 giusto? Una traslazione del sistema di riferimento e poi cambio l'insieme in funzione della parametrizzazione
$ E={(x,y,t) in R^3 t.c. 0<=2x<=y , t>=0, x^2+y^2+t^2<=1 $ giusto? Ancora grazie
Ma $\arctan 2$ è un numero! 
Con la parametrizzazione di Bokonon* attenzione che la trasformazione è $z=t-\frac{1}{2}$, da cui segue $t=z+\frac{1}{2}$ (forse hai fatto un errore di battitura nello scrivere, hai scritto $t=z-2$).
Hai scritto male un estremo di integrazione, dovrebbe essere $\frac{1}{2}\leqz\leq\frac{3}{2}$ (forse un altro errore di battitura).
Comunque sì, si tratta di una traslazione che nel nuovo sistema di riferimento $(x,y,t)$ centra la sfera nell'origine e trasla il piano $2z\geq1$ nel piano $t\geq0$.
"bastian.0":
Con la tua parametrizzazione quindi è come se considerassi lo spazio x,y,t con t=z-2 giusto?
Con la parametrizzazione di Bokonon*
attenzione che la trasformazione è $z=t-\frac{1}{2}$, da cui segue $t=z+\frac{1}{2}$ (forse hai fatto un errore di battitura nello scrivere, hai scritto $t=z-2$)."bastian.0":
$ int_(1/3)^(3/2) int_(arctan2)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(1-(z-1/2)^2)) rho^3costhetasintheta drho d theta dz $ =1/75
Hai scritto male un estremo di integrazione, dovrebbe essere $\frac{1}{2}\leqz\leq\frac{3}{2}$ (forse un altro errore di battitura).
Comunque sì, si tratta di una traslazione che nel nuovo sistema di riferimento $(x,y,t)$ centra la sfera nell'origine e trasla il piano $2z\geq1$ nel piano $t\geq0$.
Si gli estremi di integrazione errore di battitura , il primo no ho proprio usato $z-1/2=t$ per riportarmi la circonferenza centrata nell' origine del nuovo sistema di riferimento. E quindi mi verrà dopo che $t>=0$ perché quella parametrizzazione?
Bastian, hai ubricato anche Mephlip che chiaramente voleva scrivere:
$t=z-1/2$ quindi $z=t+1/2$
da cui $2z=2(t+1/2)=2t+1>=1$ implica $t>=0$
Solo perchè non passi inosservato (e perchè mi pare non sia stato menzionato), va sostituito anche il $dz$
In questo caso $dz=dt$ ma è bene ricordarselo in caso di sostituzioni più complesse.
P.S. Bastian, moltissimi esercizi sono costruiti partendo da un dominio "semplice" traslato e/o ruotato...giusto per renderli più "difficili". Ma non sta scritto da nessuna parte che tu non possa semplificarti la vita!
$t=z-1/2$ quindi $z=t+1/2$
da cui $2z=2(t+1/2)=2t+1>=1$ implica $t>=0$
Solo perchè non passi inosservato (e perchè mi pare non sia stato menzionato), va sostituito anche il $dz$
In questo caso $dz=dt$ ma è bene ricordarselo in caso di sostituzioni più complesse.
P.S. Bastian, moltissimi esercizi sono costruiti partendo da un dominio "semplice" traslato e/o ruotato...giusto per renderli più "difficili". Ma non sta scritto da nessuna parte che tu non possa semplificarti la vita!
vero ho notato! Sisi comunque tornando all'esercizio ho omesso il dt perché è uguale a dz però giusta osservazione! Il traslato ok ci sono.. Il ruotato non mi è ben chiaro nel caso dovessi trovarlo.Non mi torna una cosa sul theta che lo integro ok su arctan2, ma riguardando non mi è chiaro perché posso comunque integrarlo su pi/2, visto che non è definita su pi/2, forse sono un attimo fuso e non mi viene in mente che posso farlo comunque
@Bokonon: Magari ci si potesse ubriacare in maniera così economica
Certamente mi sono sbagliato
Per quanto riguarda la tua domanda bastian.0, a dirtela tutta non so risponderti con certezza: ciò che mi viene in mente è che gli integrali se ne fregano di quello che succede in un numero finito di punti (e non solo: anche in casi più generali, per esempio negli insiemi che hanno misura nulla secondo Lebesgue), ma questi sono concetti più profondi (rispetto a ciò che si studia sull'integrazione nei corsi base) di teoria della misura che ancora non padroneggio.
Perciò, se non ho detto eresie, integrare in $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ o integrare in $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ è indifferente per il motivo che ti ho detto prima; perciò, escludendo $\theta=\frac{\pi}{2}$, puoi dividere per $\cos\theta$ e giungere all'espressione con $\tan\theta$ e ottenere lo stesso valore dell'integrale che avresti ottenuto se non avessi escluso $\theta=\frac{\pi}{2}$.
Aspetta (e aspetto anche io, perché sono curioso) che qualcuno più competente di me ti risponda per avere un parere sicuramente più affidabile.
Certamente mi sono sbagliato
Per quanto riguarda la tua domanda bastian.0, a dirtela tutta non so risponderti con certezza: ciò che mi viene in mente è che gli integrali se ne fregano di quello che succede in un numero finito di punti (e non solo: anche in casi più generali, per esempio negli insiemi che hanno misura nulla secondo Lebesgue), ma questi sono concetti più profondi (rispetto a ciò che si studia sull'integrazione nei corsi base) di teoria della misura che ancora non padroneggio.
Perciò, se non ho detto eresie, integrare in $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ o integrare in $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ è indifferente per il motivo che ti ho detto prima; perciò, escludendo $\theta=\frac{\pi}{2}$, puoi dividere per $\cos\theta$ e giungere all'espressione con $\tan\theta$ e ottenere lo stesso valore dell'integrale che avresti ottenuto se non avessi escluso $\theta=\frac{\pi}{2}$.
Aspetta (e aspetto anche io, perché sono curioso) che qualcuno più competente di me ti risponda per avere un parere sicuramente più affidabile.
"Mephlip":
gli integrali se ne fregano di quello che succede in un numero finito di punti (e non solo: anche in casi più generali, per esempio negli insiemi che hanno misura nulla secondo Lebesgue)[...] integrare in $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ o integrare in $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ è indifferente per il motivo che ti ho detto prima
Tutto giusto. Escludendo \(\theta=\pi/2\) l'unica cosa che perdi è una sottilissima semicirconferenza. Questa figura ha volume nullo e quindi non influisce nell'integrale. Non c'è bisogno di misura di Lebesgue o di cose avanzate; basta osservare che, per ogni funzione continua \(f\) e ogni sottoinsieme \(A\) in \(\mathbb R^3\) sufficientemente regolare,
\[
\left\lvert \iiint_A f(x,y,z)\, dxdydz\right\rvert \le \mathrm{Vol}(A)\sup_A f, \]
quindi, se \(\mathrm{Vol}(A)=0\) automaticamente l'integrale fa zero. In particolare, se \(A\) e \(B\) sono disgiunti,
\[
\int_{A\cup B}f(x,y,z)\, dxdydz = \int_B f(x,y,z)\, dxdydz. \]
@bastiano: una cosa molto intelligente che potresti fare è imparare ad approssimare gli integrali numericamente, con un software come Matlab. In questo modo, potresti controllare i risultati dei tuoi esercizi; se il conto che hai fatto coincide con il risultato del software per tre o quattro cifre significative, puoi essere praticamente sicuro che esso sia corretto.
L'abilità di controllare i conti in questo modo ti sarà utilissima anche dopo avere finito gli studi.
L'abilità di controllare i conti in questo modo ti sarà utilissima anche dopo avere finito gli studi.
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