Integrale triplo
Buona sera a tutti, ho un problema con il seguente esercizio:
Stabilire al variare di $\alpha \in R$, l'integrabilità di $f(x,y,z)= \frac{1}{sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}*(x^2+y^2+z^2-1)^alpha}$
in $D={||(x, y ,z)||>1, z<0}$. E calcolare poi l'integrale con $\alpha=1/2$.
Essendo l'insieme $D={\sqrt{x^2+y^2+z^2}>1, z<0}$, ho pensato di passare in coordinate sferiche, cosi che mi ritrovo
${r \in[1,\propto], \theta in [0,2\pi], \phi in [\pi/2,\pi]}, con |detJ|= r^2sin\phi$. Anzitutto non so se ho fatto giusto, ma poi mi trovo $\int frac{1}{r(r^2-1)^alpha$ che non so come risolvere. Se qualcuno mi può aiutare lo ringrazio molto
Stabilire al variare di $\alpha \in R$, l'integrabilità di $f(x,y,z)= \frac{1}{sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}*(x^2+y^2+z^2-1)^alpha}$
in $D={||(x, y ,z)||>1, z<0}$. E calcolare poi l'integrale con $\alpha=1/2$.
Essendo l'insieme $D={\sqrt{x^2+y^2+z^2}>1, z<0}$, ho pensato di passare in coordinate sferiche, cosi che mi ritrovo
${r \in[1,\propto], \theta in [0,2\pi], \phi in [\pi/2,\pi]}, con |detJ|= r^2sin\phi$. Anzitutto non so se ho fatto giusto, ma poi mi trovo $\int frac{1}{r(r^2-1)^alpha$ che non so come risolvere. Se qualcuno mi può aiutare lo ringrazio molto
Risposte
Quello che hai scritto mi sembra tutto giusto. a questo punto puoi concludere così: innanzitutto quell'integrale è improprio in entrambi gli estremi, quindi bisogna scomporlo in due integrali:
- $int_1^C (dr)/(r(r+1)^alpha (r-1)^alpha)$: per $r -> 1$ la funzione ha lo stesso ordine di grandezza di $1/(r-1)^alpha$ (gli altri fattori tendono a delle costanti diverse da $0$), ed è noto che l'integrale di quest'ultima converge se e solo se $\alpha<1$.
- $ int_C^{+oo} (dr)/(r(r^2-1)^alpha)$: per $r -> +oo$ la funzione è asintoticamente equivalente a $1/(r^{1+2alpha})$, quindi questo integrale converge se e solo se l'esponente è maggiore di $1$, cioè se e solo se $alpha>0$.
Mettendo insieme i due pezzi si trova $0
Non ho capito se ti serve un aiuto anche per il caso $alpha=1/2$... nel dubbio te lo lascio nel testo nascosto.
- $int_1^C (dr)/(r(r+1)^alpha (r-1)^alpha)$: per $r -> 1$ la funzione ha lo stesso ordine di grandezza di $1/(r-1)^alpha$ (gli altri fattori tendono a delle costanti diverse da $0$), ed è noto che l'integrale di quest'ultima converge se e solo se $\alpha<1$.
- $ int_C^{+oo} (dr)/(r(r^2-1)^alpha)$: per $r -> +oo$ la funzione è asintoticamente equivalente a $1/(r^{1+2alpha})$, quindi questo integrale converge se e solo se l'esponente è maggiore di $1$, cioè se e solo se $alpha>0$.
Mettendo insieme i due pezzi si trova $0
Non ho capito se ti serve un aiuto anche per il caso $alpha=1/2$... nel dubbio te lo lascio nel testo nascosto.
Grazie mille, sei stato molto chiaro, una cosa pero non sto riuscendo a capire, nel risolvere l'integrale con $\alpha=1/2$
grazie al tuo suggerimento l'integrale mi si semplifica tutto ad 1, cosi che mi ritrovo da valutare $\frac{1}{cos t}$ , ma gli estremi di integrazione come li considero?
grazie al tuo suggerimento l'integrale mi si semplifica tutto ad 1, cosi che mi ritrovo da valutare $\frac{1}{cos t}$ , ma gli estremi di integrazione come li considero?
Non mi trovo con la funzione integranda in coordinate sferiche. Sarà mica
\[
\int_1^\infty \frac{r^{1/2}}{(r^2-1)^\alpha}\,dr?\]
\[
\int_1^\infty \frac{r^{1/2}}{(r^2-1)^\alpha}\,dr?\]
Non capisco perché quel r^1/2 ? Penso vadano bene le sferiche.
È vero, hai ragione, mi sono imbrogliato con gli esponenti. Quanto agli estremi di integrazione, per fare viaggiare r tra 1 e infinito, t deve viaggiare da 0 a $pi/2$, non è difficile da vedere.
Quindi alla fine avrei $\int_0^(2pi) d theta \int_(pi/2)^(pi) sin phi d phi \int_0^(2pi) dt$ con $ t=frac{1}{cos t}$
Cioe $2pi[frac{1}{cos t}]_0^(2pi)$, ma per $ t=0$ e$t =2pi$ non ho $1-1=0$ ?
Cioe $2pi[frac{1}{cos t}]_0^(2pi)$, ma per $ t=0$ e$t =2pi$ non ho $1-1=0$ ?
Chi ha detto \(0\) e \(2\pi\)? Io ho detto \(0\) e \(\frac\pi2\).
SI scusa, ma pero cosi va a infinito, come faccio a concludere?
Ma no, che fai? Calcola bene
\[
\int_0^{\pi/2} dt.\]
E' facilissimo.
[ot]non si dice "ma però"[/ot]
\[
\int_0^{\pi/2} dt.\]
E' facilissimo.
[ot]non si dice "ma però"[/ot]
Ahahah hai ragione grazie, alla fine mi viene $ pi^2 $.
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