Integrale triplo
Vi chiederei di controllare se ho impostato bene tale esercizio
Espandendo, osservo che nell'integrale compare la quantità $9x^2+4y^2+36z^2$ e che quindi il passaggio a coordinate "ellissoidaili" potrebbe essere vantaggioso. Tale cambiamento ha equazione
$\Phi :{(x=2\rho sin(\varphi)cos(\theta)),(y=3\rho sin(\varphi)cos(\theta)),(z=\rho cos(\varphi)):}$
Il suo jacobiano l'ho calcolato a partire da quello $\chi$ del cambiamento in coordinate sferiche. Detta $\psi$ l'applicazione $\psi(x,y,z)=(2x,3y,z)$ ho $\Phi=\chi \circ \psi$ e $J_(\psi)=6$. Quindi $J_(\Phi)=J_(\chi)*J_(\psi)=6\rho^2 sin(\varphi)$
Il dominio $E$ è regolare e lo posso riscrivere come $ E={(x,y,z) \in \RR^3 : (x,y) \in F, 0<= z <=sqrt(1-x^2/4-y^2/9)}$ dove $ F={(x,y)\in\RR^2 : x^2/4+y^2/9<=1} $. A questo punto $ \Phi^-1(E)={(\rho,\theta,\varphi)\in \RR^3 :\rho<=1, \varphi\in [0,\pi]} $ e $ \Phi^-1(F)={(\rho,\theta)\in\RR^2 :\rho<=1} $ e si dovrebbe avere
$\int int int (9x^2+4(y-3z)^2)dxdydz =\int \int \int (36-24\rho^2 sin^2(\varphi)cos(\theta)sin(\theta))6\rho^2sin(\varphi)d\rho d\theta d \varphi$
Calcolare su $E={(x,y,z)\in\RR^3 : 9x^2+4y^2+36z^2<=36,z>=0}$ l'integrale triplo
$\int int int (9x^2+4(y-3z)^2)dxdydz$
Espandendo, osservo che nell'integrale compare la quantità $9x^2+4y^2+36z^2$ e che quindi il passaggio a coordinate "ellissoidaili" potrebbe essere vantaggioso. Tale cambiamento ha equazione
$\Phi :{(x=2\rho sin(\varphi)cos(\theta)),(y=3\rho sin(\varphi)cos(\theta)),(z=\rho cos(\varphi)):}$
Il suo jacobiano l'ho calcolato a partire da quello $\chi$ del cambiamento in coordinate sferiche. Detta $\psi$ l'applicazione $\psi(x,y,z)=(2x,3y,z)$ ho $\Phi=\chi \circ \psi$ e $J_(\psi)=6$. Quindi $J_(\Phi)=J_(\chi)*J_(\psi)=6\rho^2 sin(\varphi)$
Il dominio $E$ è regolare e lo posso riscrivere come $ E={(x,y,z) \in \RR^3 : (x,y) \in F, 0<= z <=sqrt(1-x^2/4-y^2/9)}$ dove $ F={(x,y)\in\RR^2 : x^2/4+y^2/9<=1} $. A questo punto $ \Phi^-1(E)={(\rho,\theta,\varphi)\in \RR^3 :\rho<=1, \varphi\in [0,\pi]} $ e $ \Phi^-1(F)={(\rho,\theta)\in\RR^2 :\rho<=1} $ e si dovrebbe avere
$\int int int (9x^2+4(y-3z)^2)dxdydz =\int \int \int (36-24\rho^2 sin^2(\varphi)cos(\theta)sin(\theta))6\rho^2sin(\varphi)d\rho d\theta d \varphi$
Risposte
Non si capisce se alla fine l'hai risolto o no l'integrale.... 
Io avrei percorso una strada diversa facendo il cambio $x = 2u, y= 3v, z=w$.
Diventa $ E={(u,v,w)\in\RR^3 : u^2+v^2+w^2<=1,w>=0} $
e
$ \int\int\int_E 36(u^2+(v-w)^2)\ du\ dv\ dw $
$= \int\int\int_E 36(u^2+v^2+w^2)\ du\ dv\ dw +\int\int\int_E 72(-vw)\ du\ dv\ dw $
Il secondo addendo e' nullo per ragioni di simmetria.
Per il primo si passa in coordinate polari sferiche...
$\int\int\int_E 36(u^2+v^2+w^2)\ du\ dv\ dw $
$ = 36 int_0^(2\pi)\int_0^(\pi/2)\int_0^1 \rho^4 sin \phi \ d\rho\ d\phi\ d\theta$
Il tutto dovrebbe fare $72/5 \pi$ se non ho fatto errori di calcolo.
Rcordandoci della trasformazione fatta all'inizio la soluzione e' (dovrebbe essere) $12/5\pi$
Io avrei percorso una strada diversa facendo il cambio $x = 2u, y= 3v, z=w$.
Diventa $ E={(u,v,w)\in\RR^3 : u^2+v^2+w^2<=1,w>=0} $
e
$ \int\int\int_E 36(u^2+(v-w)^2)\ du\ dv\ dw $
$= \int\int\int_E 36(u^2+v^2+w^2)\ du\ dv\ dw +\int\int\int_E 72(-vw)\ du\ dv\ dw $
Il secondo addendo e' nullo per ragioni di simmetria.
Per il primo si passa in coordinate polari sferiche...
$\int\int\int_E 36(u^2+v^2+w^2)\ du\ dv\ dw $
$ = 36 int_0^(2\pi)\int_0^(\pi/2)\int_0^1 \rho^4 sin \phi \ d\rho\ d\phi\ d\theta$
Il tutto dovrebbe fare $72/5 \pi$ se non ho fatto errori di calcolo.
Rcordandoci della trasformazione fatta all'inizio la soluzione e' (dovrebbe essere) $12/5\pi$
Mi interessava solo impostarlo senza concluderlo. Comunque l'ho fatto e mi esce $144\pi$, sempre se ho fatto bene. In ogni caso il tuo cambio mi sembra molto comodo! Per quanto riguarda il mio è svolto correttamente?
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