Integrale triplo ?
salve,
vorrei calcolare l'integrale triplo di questa funzione dove z varia da $ 0 a root(4)(x^2+y^2) $ (l'insieme è un settore circolare del piano xy,
con p che varia tra $ 0 e 1 $ e teta tra $ \pi/3 e (3/4)\pi $ .(con il passaggio a coordinate polari)
$ ( z cos\pi z^2 )/ (sqrt(x^2+y^2) $
il libro porta come risultato $ (5/12)\pi $,ma io mi trovo 5/12 con pigreco al denominatore,dove sbaglio?
vorrei calcolare l'integrale triplo di questa funzione dove z varia da $ 0 a root(4)(x^2+y^2) $ (l'insieme è un settore circolare del piano xy,
con p che varia tra $ 0 e 1 $ e teta tra $ \pi/3 e (3/4)\pi $ .(con il passaggio a coordinate polari)
$ ( z cos\pi z^2 )/ (sqrt(x^2+y^2) $
il libro porta come risultato $ (5/12)\pi $,ma io mi trovo 5/12 con pigreco al denominatore,dove sbaglio?
Risposte
ciao.. fai vedere i passaggi e scrivi per bene il testo dell'esercizio così da capire se magari l'errore sta nella valutazione degli estremi.
Ciao kyrgios92,
Benvenuto sul forum!
Se ho interpretato correttamente, l'integrale è il seguente:
$\int \int \int_{E} frac{z cos\pi z^2}{sqrt(x^2+y^2)} dx dy dz = \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{sqrt{\rho}} (z cos\pi z^2) dz d\rho d\theta = \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} \int_{0}^{1} [frac{sin(\pi z^2)}{2\pi}]_0^{sqrt{\rho}} d\rho d\theta = $
$ = frac{1}{2\pi} \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} \int_{0}^{1} sin(\pi \rho) d\rho d\theta = frac{1}{2\pi} \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} [- frac{cos(\pi \rho)}{\pi}]_0^1 d\theta = frac{1}{\pi^2} \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} d\theta = frac{1}{\pi^2} [\theta]_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} = $
$ = frac{1}{\pi^2} [frac{3 pi}{4} - pi/3] = frac{5}{12\pi} $
Salvo errori (magari uguali ai tuoi...
), anche a me risulta $\pi $ al denominatore...
Benvenuto sul forum!
Se ho interpretato correttamente, l'integrale è il seguente:
$\int \int \int_{E} frac{z cos\pi z^2}{sqrt(x^2+y^2)} dx dy dz = \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{sqrt{\rho}} (z cos\pi z^2) dz d\rho d\theta = \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} \int_{0}^{1} [frac{sin(\pi z^2)}{2\pi}]_0^{sqrt{\rho}} d\rho d\theta = $
$ = frac{1}{2\pi} \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} \int_{0}^{1} sin(\pi \rho) d\rho d\theta = frac{1}{2\pi} \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} [- frac{cos(\pi \rho)}{\pi}]_0^1 d\theta = frac{1}{\pi^2} \int_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} d\theta = frac{1}{\pi^2} [\theta]_{pi/3}^{frac{3 pi}{4}} = $
$ = frac{1}{\pi^2} [frac{3 pi}{4} - pi/3] = frac{5}{12\pi} $
Salvo errori (magari uguali ai tuoi...
), anche a me risulta $\pi $ al denominatore...
Anche a me con quei dati risulta il pi greco a denominatore. Se il testo è corretto penso possa aver sbagliato il libro
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