Integrale triplo

[R4z0r]

Ciao ragazzi mi potreste aiutare nell'impostare questo esercizio?
In realtà ho già ottenuto la soluzione integrando per fili(esce un integrale abbastanza laborioso che mi da il giusto risultato) però vorrei risolverlo anche tramite il metodo per strati per vedere se il calcolo viene più semplice.
Il caso in questione è:
$int x^2 +y^2 +z^2 -1 dxdydz$
$Omega = {x^2+y^2+z^2 < 2 ; x^2 +y^2
Ho pensato di dividere omega in due parti :
1)una calotta (con z che varia da 1 a radice di 2)
2)un paraboloide tagliato da un piano z=1.
Risolvendo solo per la calotta:
$A_(z)=x^2+y^2 < 2-z^2$
$int_(1)^(sqrt2)int_(A_z) x^2+y^2+z^2-1dxdydz$
Arrivato a questo punto posso procedere in questo modo?
$int_(1)^(sqrt2) int_(A_z) x^2+y^2 dxdydz + int_(1)^(sqrt2)( z^2-1)[int_(A_z) dxdy]dz$

$int_(1)^(sqrt2) int_(A_z) x^2+y^2 dxdydz + int_(1)^(sqrt2)( z^2-1)[pi(2-z^2)]dz$ (1)

Avrei altri dubbi su questo esercizio, ma, mi fermo qua giusto per capire se fino ad ora è tutto corretto.
Per caso ho impostato male qualche cosa? Grazie per l'eventuale aiuto.

[Bremen000]

Mi sembra giusto fin qui!

[R4z0r]

Bene allora continuo.Il primo integrale provo a risolverlo utilizzando coordinate polari:
${ ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta) ):}$
${ ( 0 e diventa:
$int_(1)^(sqrt2)int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt(2-z^2)) rho^3 drho d theta dz$

$pi/2int_(1)^(sqrt2) (2-z^2) dz$

Infine senza sviluppare i calcoli per la calotta(sommando questi due integrali (1)) mi vien fuori un:
$pi/30[8sqrt2 -7]$

PS: Esce correttamente, prima però non usciva e non riuscivo a trovare l'errore....vabbè grazie lo stesso!!!

[Bremen000]

Fino a qua

"R4z0r":
$pi/2int_(1)^(sqrt2) (2-z^2) dz$

mi sembra fili tutto liscio. Se poi il risultato è quello cercato bene, non ho controllato altri conti.