Integrale triplo
Salve ragazzi,
Oggi mi sono imbattuto in un integrale triplo che, avendo svolto i calcoli, non sono sicuro del procedimento. L'integrale è il seguente:
$\int int int (2x+z^2) dxdydz$
Dove il dominio di integrazione corrisponde a $D : {x^2+z^2 $<=$y$<=$2}$
Vi ringrazio in anticipo sull'aiuto
PS. Con la sostituzione cilindrica, a me viene 2/3 pi
Oggi mi sono imbattuto in un integrale triplo che, avendo svolto i calcoli, non sono sicuro del procedimento. L'integrale è il seguente:
$\int int int (2x+z^2) dxdydz$
Dove il dominio di integrazione corrisponde a $D : {x^2+z^2 $<=$y$<=$2}$
Vi ringrazio in anticipo sull'aiuto
PS. Con la sostituzione cilindrica, a me viene 2/3 pi
Risposte
prova a postare i tuoi conti, così possiamo controllare eventuali errori.
I conti non riesco a scriverli con il programma, ma, sostituendo con le cilindriche, ho fatto variare $y$ da $p^2$ a $2$ dopo $p$ da $0$ a $√2$ e infine $\theta$ da $0$ a $2π$.
Ripeto, non ho dubbi nei calcoli, bensì nel risultato finale perché credo di aver sbagliato il dominio di integrazione con il cambio di variabili
Grazie ancora ragazzi!!
Ripeto, non ho dubbi nei calcoli, bensì nel risultato finale perché credo di aver sbagliato il dominio di integrazione con il cambio di variabili
Grazie ancora ragazzi!!
Usando delle coordinate cilindriche "alternative":
\[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = y \\ z = \rho \sin \theta \end{cases} \qquad \text{det} \; J = \rho \]
Il nuovo dominio sarà:
\[ \mathcal{D}_{\star} := \left \{ (\theta, \rho, y) \in \mathbb{R}^3 \; | \; \rho^2 \leq y \leq 2, \; 0 \leq \theta \leq 2\pi, \; 0 \leq \rho \leq \sqrt{2} \right \} \]
Quindi:
\[ \begin{aligned} \underset { \mathcal{D} } {\iiint} \left ( 2x + z^2 \right ) \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z &= \underset { \mathcal{D}_\star }{\iiint} \rho \left ( 2 \rho \cos \theta + \rho^2 \sin^2 \theta \right ) \; \text{d} \theta \; \text{d} \rho \; \text{d} y \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left ( \int_{0}^{\sqrt{2}} \left ( 2 \rho^2 \cos \theta + \rho^3 \sin^2 \theta \right ) \left ( \int_{\rho^2}^{2} \; \text{d} y \right ) \; \text{d} \rho \right ) \; \text{d} \theta \\ &= \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^3 \left (2 - \rho^2 \right ) \; \text{d} \rho = \frac{2}{3} \pi \end{aligned} \]
\[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = y \\ z = \rho \sin \theta \end{cases} \qquad \text{det} \; J = \rho \]
Il nuovo dominio sarà:
\[ \mathcal{D}_{\star} := \left \{ (\theta, \rho, y) \in \mathbb{R}^3 \; | \; \rho^2 \leq y \leq 2, \; 0 \leq \theta \leq 2\pi, \; 0 \leq \rho \leq \sqrt{2} \right \} \]
Quindi:
\[ \begin{aligned} \underset { \mathcal{D} } {\iiint} \left ( 2x + z^2 \right ) \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z &= \underset { \mathcal{D}_\star }{\iiint} \rho \left ( 2 \rho \cos \theta + \rho^2 \sin^2 \theta \right ) \; \text{d} \theta \; \text{d} \rho \; \text{d} y \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left ( \int_{0}^{\sqrt{2}} \left ( 2 \rho^2 \cos \theta + \rho^3 \sin^2 \theta \right ) \left ( \int_{\rho^2}^{2} \; \text{d} y \right ) \; \text{d} \rho \right ) \; \text{d} \theta \\ &= \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^3 \left (2 - \rho^2 \right ) \; \text{d} \rho = \frac{2}{3} \pi \end{aligned} \]
Perché Rho varia da 0 a 1? Se il dominio è
$x^2+z^2<=y<=2$
Spezzando il dominio dovrebbe venire
$x^2+z^2<=y$
$x^2+z^2<=2$
$y<=2$
Quindi Rho non dovrebbe variare da 0 a √2?
$x^2+z^2<=y<=2$
Spezzando il dominio dovrebbe venire
$x^2+z^2<=y$
$x^2+z^2<=2$
$y<=2$
Quindi Rho non dovrebbe variare da 0 a √2?
Sì, è vero. Ieri sera non mi ero immaginato bene il paraboloide. Il raggio massimo delle coordinate polari deve coincidere con il raggio del cerchio dato dall'intersezione del paraboloide con il piano \( y = 2 \), quindi \( \sqrt{2} \).
Ti ringrazio tanto per la verifica quindi il risultato invece di essere π/3 risulterà essere 2/3 π giusto? Ti faccio questa domanda perché io ho fatto in un modo analogo (credo), cioè ho fatto variare
$0<=p<=√y$
$0<=theta<=2π$
$0<=y<=2$
E integrando, viene lo stesso 2/3 π. La domanda è: è corretto il metodo alternativo di integrazione?
Grazie in anticipo per la vostra attenzione e disponibilità
quindi il risultato invece di essere π/3 risulterà essere 2/3 π giusto? Ti faccio questa domanda perché io ho fatto in un modo analogo (credo), cioè ho fatto variare $0<=p<=√y$
$0<=theta<=2π$
$0<=y<=2$
E integrando, viene lo stesso 2/3 π. La domanda è: è corretto il metodo alternativo di integrazione?
Grazie in anticipo per la vostra attenzione e disponibilità
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