Integrale triplo
Ciao a tutti,
ho un problema con questo esercizio. Come si imposta?
Es.Sia $ A=\{(x,z)\in\mathbb{R}^2 \ \text{tale che}\ x\geq 0,z\geq 0,\ z^2-x^2\leq 1,\ z\geq 2x \} $ una lamina omogenea e $V$ il solido ottenuto dalla rotazione completa di $A$ attorno all'asse $x$.
Calcolare le coordinate del baricentro.
...quello che ho fatto io è...
Sia $G=(x_G,y_G,z_G)$ il baricentro, allora, poiché il dominio è simmetrico rispetto al piano $z=0$ e $y=0$ e la funzione $f(x,y,z)=y$ e $g(x,y,z)=z$ sono dispari rispetto a $y$ e $z$ (rispettivamente),
otterrò che $y_G=z_G=0$.
Per calcolare l'ascissa di $G$ devo fare $ x_G=\frac{int int int_(V)^()x\ dx dy dz}{Vol(V)} $.
Quindi determino il volume di $V$ applicando il teorema di Guldino
$ Vol(V)= 2\piint int_(A)^()z\ dx dz=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{sqrt{3}}}(\int_{2x}^{sqrt{1+x^2}}z\ dz)dx=\cdots=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}} $ (Giusto?)
Non riesco a mettere gli estremi giusti nell'integrale triplo in modo che si riesca ad integrare decentemente. Come si fa?
ho un problema con questo esercizio. Come si imposta?
Es.Sia $ A=\{(x,z)\in\mathbb{R}^2 \ \text{tale che}\ x\geq 0,z\geq 0,\ z^2-x^2\leq 1,\ z\geq 2x \} $ una lamina omogenea e $V$ il solido ottenuto dalla rotazione completa di $A$ attorno all'asse $x$.
Calcolare le coordinate del baricentro.
...quello che ho fatto io è...
Sia $G=(x_G,y_G,z_G)$ il baricentro, allora, poiché il dominio è simmetrico rispetto al piano $z=0$ e $y=0$ e la funzione $f(x,y,z)=y$ e $g(x,y,z)=z$ sono dispari rispetto a $y$ e $z$ (rispettivamente),
otterrò che $y_G=z_G=0$.
Per calcolare l'ascissa di $G$ devo fare $ x_G=\frac{int int int_(V)^()x\ dx dy dz}{Vol(V)} $.
Quindi determino il volume di $V$ applicando il teorema di Guldino
$ Vol(V)= 2\piint int_(A)^()z\ dx dz=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{sqrt{3}}}(\int_{2x}^{sqrt{1+x^2}}z\ dz)dx=\cdots=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}} $ (Giusto?)
Non riesco a mettere gli estremi giusti nell'integrale triplo in modo che si riesca ad integrare decentemente. Come si fa?
Risposte
Grazie mille!! Chiarissimo
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