Integrale triplo

[Duj91]

Ciao a tutti. Devo svolgere il seguente integrale triplo:
$∫∫∫_Ωzdxdydz$
Con $Ω={(x,y,z):0≤y−x+z≤1,(2y−z)^2+x^2≤y^2}$
Solo che non riesco a capire come a portare in forma canonica la quadrica associata alla seconda parte del dominio $Ω$. O nel caso quali trasformazioni fare. E' per caso un integrale improprio? Perchè il dominio mi sembra illimitato.
Qualcuno può spiegarmelo?

[Duj91]

Qualcuno può rispondermi? Si tratta di un esercizio di esame. Non riesco proprio a capire come impostarlo

[Duj91]

UP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[spugna2]

"Duj91":non riesco a capire come a portare in forma canonica la quadrica associata alla seconda parte del dominio $ Ω $. O nel caso quali trasformazioni fare. E' per caso un integrale improprio? Perchè il dominio mi sembra illimitato.
Qualcuno può spiegarmelo?

Osserva innanzitutto che se l'equazione fosse $z^2+x^2=y^2$ avresti chiaramente un cono, e in effetti puoi ottenerlo con $(x,y,z)=(x',y',z'+2y')$. Ora, la parte del cono che ti interessa è quella compresa tra due piani paralleli, di cui uno interseca il cono solo nell'origine (conto facile): da ciò puoi concludere che l'altro piano interseca il cono in un'ellisse, e quindi che il dominio è limitato. A questo punto saremmo contenti se avessimo qualcosa del tipo $\{ 0 \le y \le 1, x^2+z^2 \le y^2 \}$, e sicuramente ci si riesce con una trasformazione lineare, anche se sinceramente non ricordo quale sia il modo più veloce per trovarla...

[Duj91]

"spugna":[quote="Duj91"]non riesco a capire come a portare in forma canonica la quadrica associata alla seconda parte del dominio $ Ω $. O nel caso quali trasformazioni fare. E' per caso un integrale improprio? Perchè il dominio mi sembra illimitato.
Qualcuno può spiegarmelo?

Osserva innanzitutto che se l'equazione fosse $z^2+x^2=y^2$ avresti chiaramente un cono, e in effetti puoi ottenerlo con $(x,y,z)=(x',y',z'+2y')$. Ora, la parte del cono che ti interessa è quella compresa tra due piani paralleli, di cui uno interseca il cono solo nell'origine (conto facile): da ciò puoi concludere che l'altro piano interseca il cono in un'ellisse, e quindi che il dominio è limitato. A questo punto saremmo contenti se avessimo qualcosa del tipo $\{ 0 \le y \le 1, x^2+z^2 \le y^2 \}$, e sicuramente ci si riesce con una trasformazione lineare, anche se sinceramente non ricordo quale sia il modo più veloce per trovarla...[/quote]

Avevo pensato anche io a quell'approccio, che sembra essere comunque il più opportuno. Il problema poi si presenta nella definizione degli estremi di integrazione una volta passati in coordinate cilindriche

[spugna2]

"Duj91":Il problema poi si presenta nella definizione degli estremi di integrazione una volta passati in coordinate cilindriche

Quello in realtà si fa abbastanza facilmente: se usi la trasformazione a cui avevo accennato nel messaggio precedente ti ritrovi con il dominio $\Omega'=\{0 \le -x'+3y'+z' \le 1, x'^2+z'^2 \le y'^2 \}$. A questo punto dovresti riuscire a isolare $y'$ senza troppe difficoltà...

Rinominando le variabili, $\sqrt{x^2+z^2} \le y \le \frac{1+x-z}{3}$ (o qualcosa di analogo se usi le cilindriche rispetto a $y$) e con questo ti riconduci a un integrale doppio su una conica, di cui tra l'altro sai già più o meno com'è fatta. L'unica cosa è che quest'ultimo integrale potrebbe essere molto antipatico (non ho provato a fare tutti i conti)

[Duj91]

"spugna":[quote="Duj91"]Il problema poi si presenta nella definizione degli estremi di integrazione una volta passati in coordinate cilindriche

Quello in realtà si fa abbastanza facilmente: se usi la trasformazione a cui avevo accennato nel messaggio precedente ti ritrovi con il dominio $\Omega'=\{0 \le -x'+3y'+z' \le 1, x'^2+z'^2 \le y'^2 \}$. A questo punto dovresti riuscire a isolare $y'$ senza troppe difficoltà...

Rinominando le variabili, $\sqrt{x^2+z^2} \le y \le \frac{1+x-z}{3}$ (o qualcosa di analogo se usi le cilindriche rispetto a $y$) e con questo ti riconduci a un integrale doppio su una conica, di cui tra l'altro sai già più o meno com'è fatta. L'unica cosa è che quest'ultimo integrale potrebbe essere molto antipatico (non ho provato a fare tutti i conti)

[/quote]

Intanto grazie. Ho provato a seguire le tue linee guida e in effetti l'integrale che salta fuori è veramente ostico. Mi viene da pensare che non ci sia un altro punto di vista con cui guardare l'esercizio.